Laplace变换的应用研究

２０１０年４月　枣庄学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＺＡＯＺＨＵＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ａｐｒ．２０１０　Ｖ０１．２７　Ｎ０．２　第２７卷第２期　Ｌａｐｌａｃｅ变换的应用研究　姜立新　（德州职业技术学院，山东德州２５３０３４）　［摘要］利用Ｌａｐｌａｃｅ（逆）变换及其具有的积分性质、微分性质、卷积性质，来求解一些特殊类型的无穷积分，并讨论　了Ｌａｐｌａｃｅ变换在求解微分方程（组）、积分方程中的应用．　［关键词］拉氏变换；无穷积分；微分方程；积分方程　［中图分类号］０１７７．６　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００４—７０７７（２０１０）０２—００３７—０４　０引言　Ｌａｐｌａｃｅ变换属于积分变换的一种，它是通过积分运算把一个函数变成另一个函数　的变换，它将函数的微积分运算转化为代数运算，在力学、电学、控制论等工程技术与科　学领域中有着广泛的应用．　１预备知识　引理１　（拉普拉斯变换存在定理）［１～３］　如果函数　ｔ）满足下面两个条件：（１）　在ｔ≥０的任一有限区间上分段连续；（２）存在常数Ｍ＞０及Ｃ≥０，使得１．厂（ｔ）Ｊ≤Ｍｅ“（０　≤　＜＋一）成立；那么，　ｔ）的拉普拉斯变换Ｆ（ｓ）　』）　￡）ｅ　‘ｄｔ在半平面Ｒｅ（ｓ）＞ｃ　内一定存在，且是解析的．　引理２［４］如果函数，（　）＝』）ｌ　ｇ（　，　）Ｉ　ｄｘ关于　在［０，＋一）上一致收敛且有　界，则　ｇ（　，￡）　］和　［ｇ（　，￡）］　］都存在且相等，即　ｇ（　，￡）　］　［ｇ（　，￡）］ｄｘ］　符号说明：ｙ（５）＝　［），（ｔ）］，　（５）＝Ｌ［　（￡）］　２利用Ｌａｐｌａｃｅ变换求解无穷积分　例１狄利克莱积分　ｓ了ｉｎｔ　ｚ）］且　ｄ　收敛，则　５Ｙｅａｒ：由拉氏变换像函数的积分性质知：若Ｆ（　）＝　ｄ　＝　Ｆ㈠ｄ　解令　￡）＝ｓｉｎｔ，则　（ｓ）＝　￡）］　，于是　ｄ　＝　［收稿日期］２０１０一Ｏ１—２３　ｄｓ＝ａｒｃｔａ　＝予　［作者简介］姜立新（１９６６一），女，山东省宁津县人，德州职业技术学院副教授，理学硕士，研究方向为数学物理方程　・３７・　枣庄学院学报　．２０１０年第２期　＋∞　例２　』ｔｅ　‘ｓｉｒｌ２ｔ　ｔｏ　．分析：由拉氏变换的定义Ｆ（ｓ）＝Ｉ　￡）ｅ－ｓｔ　，当ｓ：。时，则有，　＊ｆ（ｔ）。一ｍｄｔ：Ｆ　（ａ），这说明积分Ｉ　ｚ）ｅ－ａｔ　的值等于　ｔ）的拉氏变换　（　）在ｎ点的值，　解４ｓ　因为　［ｓｉｎ２ｔ］　，由像函数的微分性质，　ｔｓｉｎ２ｔ］＝一‘　），：　所以　ｓｉｎ２　＝　［　ｎ２ｔ　：　＝两１２　例３概率积分　ｅ　（“＞０）　分析：由引理２知，　［　ｇ（ｘ，ｚ）　］＝ｒ　［ｇ（　，ｆ）］　］　解引入参数￡，令，（￡）：　ｅ一　，则　Ｆ（ｓ）＝　＝　ｅ＿ｌ（　）］＝　（　１　＝　＝　ｒｅ－ｔｕｘ２　１　＝　＝　一　ｒｃｔａｎ　２　—　＝予去　于是，　＝　即　ｅ　［　］　０ｕ　‘４ｓ一　０Ｉ上　，＿；兰　＝■■　’　丢　　砉，当ｔ＝，时，　ｅ～　＝　２　）］　３求解微分方程ｆ组１初信问颗　微分方程（组）＋初始条件　，　Ｋ—兰　　代数方程（组）　Ｔ　上　原解解．　三　像解　，例４　求微分方程Ｙ”一３ｙ　＋２ｙ＝２ｅ～，满足初始条件ｙ（０）：２ｙ，（Ｏ）：一１的特　解：设　［），（￡）］＝ｙ（ｓ），对微分方程两端取拉氏变换得　［ｓ２ｙ（ｓ）一　（ｓ）一），　（ｓ）］一３［ｓ】，（ｓ）一　（０）］＋２ｙ（　）＝　，考虑到初始条件得　（　一３　＋２）ｌ，（ｓ）＝　＋２ｐ一７，于是　１　７　）＝　２　ｓ２－－　５ｓ－－而５＝　＋　一　对上述方程两边取拉氏逆变换，得　ｙ（ｔ）＝　一　［ｙ（ｓ）］　＝　ｅ‘‘＋４　ｅ一　了１　一　１　］＋４　一　］７　Ｌ－１　一　１　２　３　于是得到方程的解为ｙ（￡）＝了１　ｅ　＋４　ｅ‘一　ｅ　例５　求微分方程组｛Ｌ　一　一ｖ　ｙ　　一＝　０　＝０，　满足初始条件　（’　’’　、　０）：０，　，。　（、０一　‘）：１，　’　，（、０）ｕ　姜立新１的特解．　Ｌａｐｌａｃｅ变换的应用研究　＝解：设　（ｔ）］＝ｙ（ｓ），　［　（ｔ）］＝　（ｓ），对微分方程组两端取拉氏变换得　ｆｓ　（ｓ）一ｓｘ（０）一．ｑＣ　（０）一２［ｓＹ（ｓ）一ｙ（０）］一　（ｓ）＝０　ｔｓＸ（ｓ）一　（０）一ｙ（ｓ）＝０　考虑到初始条件得，』＿（ｓ　一　）　ｓ）一２ｓｙ（５）＋　＝ｏ　ＬｓＸ（ｓ）一ｙ（ｓ）＝０　ｒｘ（ｓ）＝　解方程组得，Ｊ　＋　，取拉氏逆变换，得　【】，（ｓ）＝南　；　例６　求变系数微分方程￡ｙ”＋２（ｔ一１）Ｙ　＋（ｔ一２）ｙ＝０，满足初始条件　（０）＝０　的解　解一方程两边同时实施拉氏变换，利用拉氏变换的微分性质有　［　ｙ（　）一ｓｙ（０）一，，　（０）］　一２［ｓＹ（　）～，，（０）］　一２［ｓＹ（　）］一［】厂（　）］　一２】，（ｓ）　＝０　结合初始条件），（０）＝０，化简有　（ｓ　＋２ｓ＋１）Ｙ　（ｓ）＋４（ｓ＋１）ｙ（５）　＝０，解之有　ｙ（ｓ）＝南４求解积分方程　，ｃ为任意常数　所以ｙ（ｔ）＝Ｌ　［１，（ｓ）］＝Ｃｔ。ｅ　例７　求积分方程ｙ（ｔ）＝ａｔ＋　），（丁）ｓｉｎ（　一下）ｄａ－的解・　解由卷积定义上ｙ（　）ｓｉｎ（￡一　）ｄａ－　ｙ（￡）　ｓｉｎｔ　对积分方程两边同时实施拉氏变换并由卷积定理得　ｙ（　）＝号＋　［　（ｔ）］・，Ｊ［ｓｉｎｔ］　即　ｙ（ｓ）＝　ａ＋ｙ（　）’　ＪＳ　＋工＿　故　ｙ（ｓ）＝号＋　，　两边取拉氏逆变换得　），（￡）＝Ｌ　［ｙ（　）］　例８。（　＋　１￡　）　求１—２ｓｉｎｔ一，，（　）一＇ｅ２（ｔ　ｒ）），（　）ｄＴ－＝０　＇ｅ２（ｔ　ｒ）ｙ（　）ｄ　：　（　）半ｅ２ｔ　解　因为对积分方程两边同时实施拉氏变换并应用卷积性质得　÷一２・　一ｙ㈤一ｙ㈩・　＝　一　＝ｏ　一　解之，ｙ（ｓ）＝　所以，ｙ（　）＝Ｌ　［ｙ（ｓ）］：２一ｃｏｓｔ一３ｓｉｎｔ　・３９－　枣庄学院学报　２０１０年第２期　从以上几个例子可以看出，用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁，但任何变换都　有它的局限性，利用Ｌａｐｌａｃｅ变换时必须满足＂－Ｃ的存在定理．　参考文献：　［１］张元林．积分变换（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　［２］白艳萍，雷英杰，扬明．复变函数与积分变换［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００４．　［３］华中科技大学数学系．复变函数与积分变换（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　［４］钱学明．利用拉普拉斯变换求解几个重要的广义积分［Ｊ］．河北北方学院学报（自然科学版），２００８，２４（３）：４—７．　［５］施晓红．Ｌａｐｉａｃｅ变换在求解线性微分及积分方程中的应用［Ｊ］．昆明理工大学学报（理工版），２００９，３４（３）：１２１—　１２４　［责任编辑：陈庆朋］　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　Ｔｈｅ　Ｌａｐｌａｃｅ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ＪＩＡＮＧ　Ｌｉ—ｘｉｎ　（Ｄｅ　Ｚｈｏｕ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｄｅ　ｚｈｏｕ　２５３０３４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｌａｐｌａｃｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｓｏｌｖｅｓ　ｓｏｍｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｉｎ・　ｔｅｇｒ￣ａｎｄ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｓｏｌｖｉｎｇ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｌａｐｌａｃｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｃｌｕｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕｔｉｏｎ　・４０・