倒推分析法学习定理证明与做习题

何松年

实变函数课程似乎素有难学的名声，其难有二：其一是内容难懂，其二是习题难做。如何解决这一问题，在认真听讲勤于思考的基础上，在学习定理证明和做习题的时候，有意识地用“倒推分析法”训练自己大有裨益。所谓“倒推分析法”就是由果索因，亦即由结果出发分析，欲证┅，只需证┅，而欲证┅，又只需要证┅，直到已知条件为止。这种方法往往可以找到解决问题的途径，你可能会觉得证明思路实际上是很自然的，并不是玄妙的和不可思议的，可以更深刻地理解所学内容的本质，也有助于形成良好的思维习惯。下面以实变函数中十分重要的叶果洛夫定理为例阐述如何“倒推分析。”

一、 叶果洛夫定理

设f(x),f1(x),f2(x),,fn(x),,是定义在可测集E上的几乎处处有限的可测函数，且m(E)，若fk(x)f(x),a.e.于E，则对任何0, 存在可测集

EE，使得

（1）fk(x)在E上一致收敛于f(x), （2）m(EE)。

二、定理分析 倒着推

（1） 定理要求寻求满足两个条件的E。首先要想明白何为收敛？ 若

x0E为收敛点，则0, 自然数

j，使当kj时成立

，

fk(x0)f(x0)即

x0Efk(x)f(x)。

kj集合Efk(x)f(x)中的点，满足对于一切

kjkj

1

fk(x)f(x)。

但此集合显然不是一个收敛点集，更不是一个一致收敛点集！当然也就没有资格充当E！

（2） 如何找一个一致收敛点集？当然需要先让动起来！i，选一个ji（其值待定），做集合

1Efk(x)f(x)，iikji自然想到，令

1,2,,

1EEfk(x)f(x),

ii1kji容易验证，fk(x)在E上一致收敛于f(x)。

（3） 剩余的问题是：如何选择ji，使得mEE？先看看EE是何

模样，显然

1EEEfk(x)f(x)。

ii1kji于是，欲使

mEE，

由测度次可加性，只需对每个i，选择适当ji，满足

1mEf(x)f(x)kikji2i而这又只需证明（对每个自然数i）

，

i1,2,,

10,i1,2,,limmEf(x)f(x)k jikj于是，核心问题是：0，是否成立

2

0.limmEf(x)f(x)k jkj这与已知条件是什么关系？注意到Efk(x)f(x)，j1,2,,是一个

kj递降的集合列，且由于条件mE，所以有

limmEf(x)f(x)kjkjmE|fk(x)f(x)|j1kj mlimEfk(x)f(x).k因而只需证

mlimEfk(x)f(x)0，

k但显然

klimEfk(x)f(x)Efk不收敛于f，

mlimEfk(x)f(x)0。

k故由已知条件，可得

三、定理证明

（1） 先证对任何0,成立

0.limmEf(x)f(x)k jkj因为fk(x)f(x),a.e.于E，而显然

3

klimEfk(x)f(x)Efk不收敛于f，

mlimEfk(x)f(x)0。

k所以，有

注意到Efk(x)f(x)，j1,2,,是一个递降的集合列，以及条件

kjmE，有

limmEf(x)f(x)kjkjmEf(x)f(x)kj1kjmlimEfk(x)f(x)k

0.（2） 其次，由上论证，知对任意给定的0, 对每个自然数i，存在自然

数ji，使得

1mEf(x)f(x)kikji2i令

，

1EEEfk(x)f(x)，

ii1kji则有

mEEi12i。

（3） 最后，来证可测函数列fk(x)在

4

1EEEEEfk(x)f(x)

ii1kji上一致收敛于可测函数f(x). 事实上，0，取定一个i0，使得

1，i0从而，当k有

ji0时，对一切xEkji01Efk(x)f(x)i，

0fk(x)f(x)1。 i0 5