反函数基础练习含答案

反函数基础练习

(一)选择题

1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是

A．y＝－x(x≥0)B．y＝x(x≤0)C．y＝－x(x≤0)D．y＝－|x|

2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是

A．[0，＋∞) C．(0，1] 3．函数y＝x2＋1(x≥2)的反函数是

B．[－∞，1]

D．(－∞，0]

]

]

]

[ [ [

A．y＝2－(x－1)2(x≥2)

B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)

C．y＝2－(x－1)2(x≥1)

D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)

4．下列各组函数中互为反函数的是

A．y＝x和y＝x2B．y＝11x和y＝x

C．y＝3x13x1和y＝3x1x1(x≠1)D．y＝x2(x≥1)和y＝x(x≥0)

5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是

A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数 ]

]

[ [

B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数

C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数

D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点

6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是

y＝－x1，那么另一个函数是

A．y＝x2＋1(x≤0)

B．y＝x2＋1(x≥1)

C．y＝x2－1(x≤0)

D．y＝x2－1(x≥1)

7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 ]

]

[

[

A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b)

C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))

8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是

A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)

C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)

9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是

]

]

[ [

10．函数y＝31x的反函数是g(x)，则

A．g(2)＞g(－1)＞g(－3)

B．g(2)＞g(－3)＞g(－1)

C．g(－1)＞g(－3)＞g(2)

D．g(－3)＞g(－1)＞g(2)

(二)填空题

]

[

1．函数y＝3＋x2的反函数是2．函数y＝．1(x＞0)与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，2x1

解f(x)＝________．

3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．

4．函数y＝9x2(－1＜x＜0)的反函数是，反函数的定

义域是________．

5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a))＝________．

1的反函数的值域是x26．函数y＝．．．x1(x≥1)7．函数y＝的反函数是：－1x(x＜1)2218．函数f(x)＝(x＜－1)，则f(－)＝31x2

(三)解答题

1．求函数y＝x2＋1的反函数，并作出反函数的图像．ax52．已知函数f(x)＝．x2

(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．

3．已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．

2x34．设函数f(x)＝，函数y＝g(x)的图像是y＝f1(x＋1)的图像x1

关于y＝x对称，求g(2)的值．

参考答案

(一)选择题

1．(C)．解：函数y=－x2(x≤0)的值域是y≤0，由y=－x2得x=

－－y，∴反函数f1(x)=－－x(x≤0)．

2．(D)．解：∵y=－x2－2x=－(x＋1)2，x≥0，∴函数值域y≤0，即其反函数的定义域为x≤0．

3．(D)．解：∵y=x－2＋1，x≥2，∴函数值域y≥1，由y=x－2

＋1，得反函数f－1(x)=(x－1)2＋1，(x≥1)．

4．(B)．解：(A)错．∵y=x2没有反函数．(B)中如两个函数互为反

函数．(C)中函数y=3x＋1x＋1(x≠1)的反函数是y=(x≠3)而不是y=x－1x－33x＋1．(D)中函数y=x2(x≥1)的值域为y≥1．应是其反函数的定义域x3x－1≥1．但y=x中的定义域x≥0，故(D)中两函数不是互为反函数．

5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f-1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x2＋1(x≥0)的图像与y轴有

交点，但其反函数f-1(x)=x－1(x≥1)的图像与y轴没有交点．∴(D)错．

6．(A)．解：∵函数y=－x－1的值域y≤0；其反函数f1(x)=x2＋

＋1(x≤0)．选(A)．

7．(D)．解：∵点(a，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b，a)必在其反函数y=f-1(x)的图像上，而a=f-1(b)，故点(b，f－1(b))在y=f-1(x)的图像上．选(D)．

8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f-1(x)即g(x)=f-1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f-1(x)=－g(x)，∴选(B)．

9．(C)．解：令t=x－1．∵x≤1，∴t≤0，f(t)=t2＋2(t≤0)，即f(x)=x2＋2(x≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f-1(x)的定义域是x≥2，值域y≤0，故选(C)．

1在(－∞，0)上是减函数，又－3＜－1＜x3

10．(B)．解：∵g(x)=0，∴0＞g(－3)＞g(－1)而g(2)=1＞0，∴g(2)＞g(－3)＞g(－1)．故选23

(B)．

(二)填空题

1．解：∵函数y=3＋x＋2的值域y≥3，其反函数y=x2－6x＋7(

x≥3)

2．解：y=11－x(x＞0)的值域y＜1，其反函数f(x)=(x＜1)．2x＋12x

1b1b3．解：函数y=4x－b的反函数是y=x＋，则x＋=ax＋3，4444

1，b=12．4

比较两边对应项系数得a=4．解：函数y=9－x2(－1＜x＜0)的值域y∈(22，3)，反函数f1

(x)=－9－x2．反函数的定义为(22，3)．

5．a

6．[0，2)∪(2，＋∞)

x2＋17．f(x)=21－x1(x≥1)(x＜0)

8．－2

(三)解答题

1．解：∵x≥－2，得值域为y≥1．由y=x＋2＋1得反函数f1(x)=

(x－1)2－2，(x≥1)，其图像如右图．

2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x≠1，x∈R，∴y=f-1(x)的值域是{y|y≠1，y∈R}．

解(2)：∵点P(1，2)在，y=f-1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x

的对称点为P′(2，1)一定在y=f(x)的图像上，即由∴f(x)=2a＋51=1得a=－，2＋2210－x10－4x，其反函数f-1(x)=．∵f-1(x)的定义域为{x|x≠－2x＋42x＋111，x∈R}，∴y=f(x)的值域为{y|y≠－，y∈R}．22

3．证明略．

4．略解；f(x)=2x＋3x＋3的反函数是f-1(x)=，∴f1(x＋1)=x－1x－2

x＋4x＋4，由=2得x=6即g(2)=6．x－1x－1