圆的垂径定理试题(附答案)

1、（2013年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.

A.42 B.82 C.25 D.45

2、(2013年黄石)如右图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为 半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）

A.9 B. 24 C. 18 D. 5

55523、(2013河南省)如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G，直线EF与O相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A. AG＝BG B. AB∥BF C.AD∥BC D. ∠ABC＝ADC

4、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm或cm D. cm或cm 5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（ ）

A. cm B. 5cm C. 4cm D. cm

6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）

A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m

7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）

A.

B. C. D.

8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）

A. 2

B. C. D.

9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）

A.

B. C.

D. 2

310、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）

A. 10 B. 8 C. 5 D. 3

11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截

面圆心O到水面的距离OC是

A. 4 B. 5 C.6 D.8

12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）

A.

B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°

13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（ ）

A. 5 B. 10 C. 8 D. 6

14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（ ）

B. 5 C. 4 D. 3 15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A.3 B.4 C.5 D.7

16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）

A. 4

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．

18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确的是（ ） ．．

19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4两个阴影部分的面积和为 ．

，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中

图20 图21 图22 20、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．

21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 度．

22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．

图23 图24 图25 图26 图27 图28 23、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则

所在圆的半径为 ．

24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．

25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O

5的半径为，CD=4，则弦AC的长为 ．

2

26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．

27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 度．

28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ． 29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与

x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P的半径为13，则点P的坐标为 ____________.

30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

31、（2013•白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E． （1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；

（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

32、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD；

3（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

5

33、（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

34、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

参考答案

1、【答案】D．

【考点】垂径定理与勾股定理.

【点评】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决. 2、【答案】C

4 【解析】由勾股定理得AB＝5，则sinA＝，作CE⊥AD于E，则AE＝DE，在Rt△AEC中，

5CE4CE12918sinA＝，即，所以，CE＝，AE＝，所以，AD＝

AC535553、【答案】C

【解析】由垂径定理可知:A一定正确。由题可知：EF⊥CD,又因为AB⊥CD,所以AB∥EF, 即B一定正确。因为∠ABC和∠ADC所对的弧是劣弧，AC根据同弧所对的圆周角相等可知D一定正确。 4、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】分类讨论

【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 【解答】解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=

=

=4

cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm， 在Rt△AMC中，AC===2cm．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 5、【答案】A

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值

【解答】解：连接AO，∵半径OD与弦AB互相垂直，∴AC=AB=4cm， 设半径为x，则OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO=AC+OC， 即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=

，故半径为

cm．

2

2

2

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般

6、【答案】D

【考点】垂径定理的应用；勾股定理． 【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案． 【解答】

【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 7、【答案】B

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB． 【解答】解：∵OC⊥弦AB于点C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB=

=

．

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容 8、【答案】D

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长． 【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 9、【答案】A

【考点】圆锥的计算．

【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可． 【解答】

10、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长 【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 11、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】根据垂径定理得出AB＝2BC，再根据勾股定理求出OC的长 【解答】解：∵OC⊥AB,AB＝16，∴BC等于

AB＝8。

在Rt△BOC中，OB＝10，BC＝8，6。12、【答案】C

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【分析】根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．

【解答】∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， A、

=

，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；

C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误； 【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般 13、【答案】A

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度

【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 14、【答案】B

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 【分析】先根据∠BAC=∠BOD可得出再根据勾股定理即可得出结论 【解答】解：∵∠BAC=∠BOD，∴

=

，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=CD=4， =

，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，

设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r， ∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．

【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键

15、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长 【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键

16、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值． 【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 17、【答案】24

【考点】一次函数综合题．

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案． 【解答】

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

18、【答案】C

【考点】圆和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断：

当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA＝PC，即△APC是等腰三角形，判断A正确；

当△APC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确； 当PO⊥AC时，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP＝60°，则∠ACP＝60°，判断C错误；

当∠ACP＝30°时，∠ABP＝∠ACP＝30°，又∠ABC＝60°，从而∠PBC＝30°；又∠BAC＝60°，所以，∠BCP＝90°，即△PBC是直角三角形，判断D正确。 19、【答案】10π

【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可． 【解答】

【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大 20、【答案】 2

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长． 【解答】

【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用

21、【答案】28

【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】根据垂径定理可得点B是 【解答】解：∵OB⊥AC，∴

=

中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案．

，∴∠ADB=∠BOC=28°

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这

条弧所对的圆心角的一半． 22、【答案】48

【考点】垂径定理

【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°

∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°． 【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线． 23、【答案】

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，

222

由勾股定理即可求得：（8﹣x）+2=x，解此方程即可求得答案． 【解答】

【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 24、【答案】2

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长． 【解答】

【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 25、【答案】25 【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质．

【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

【解答】连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,

3在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=25 226、【答案】80°

【考点】圆周角定理；垂径定理．

【分析】根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案． 【解答】解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴

=

，∴∠BOD=2∠BAC=80°．

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 27、【答案】52°

【考点】圆周角定理；垂径定理．

【分析】由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案．

【解答】解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB， ∴

=

，∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．

【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 28、【答案】14-3.5=10.5

【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。

【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，因为∠

1ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，所以EF=AB=3.5，

2因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5 29、【答案】（3，2）

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案． 【解答】

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

30、【答案】5m

【考点】垂径定理；勾股定理． 【解答】

31、【考点】切线的判定；勾股定理；垂径定理． 【分析】（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；

（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线． 【解答】

【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．

32、【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据即可得∠1=∠P；

（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即 【解答】

3=，所以可以求得圆的直径． 5=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，

【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．

33、【考点】切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可． 【解答】

【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．

34、【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解． 【解答】

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理， （1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键， （2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．