第一章 集合与常用逻辑用语 质量检测

第一章 集合与常用逻辑用语

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)

1.已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( ) A.( p)∨q B.p∧q C.( p)∨( q) D.( p)∧( q) 解析：由题意可知p为真命题，q为假命题，∴ p为假命题， q为真命题，∴( p)∨( q)为真命题. 答案：C

2.(2009·浙江高考)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立. 答案：C

3.(2010·徐州模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( ) A.－3Δ＝4(m－1)2－8(m2－1)＝－4m2－8m＋12>0. ∴－3k1k1

4.设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则 ( )

2442A.M＝N B.MN C.MN D.M∩N＝∅

13571357

解析：法一：对k取值可观察出：M＝{±，±，±，±，„}；N＝{±，±，±，±，„}

4444444413

∪{±，±1，±，„}，∴MN.

22法二：在集合M中：x＝

2k＋1k＋2

；k∈Z.在集合N中：x＝；k∈Z，由2k＋1，k∈Z44

为所有奇数；而k＋2，k∈Z为所有整数，可知MN. 答案：B

5.给出下列四个命题 ：

33

①命题“∀x∈R，都有x2－x＋1≥”的否定是“∃x∈R，x2－x＋1<”；

44

1

②命题“在△ABC中，若A<30°，则sinA<”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题2的个数为2；

π

③函数y＝sinx＋3cosx，x∈[，π]的值域是[－3，2]；

6

④集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{y|y＝－lg(sinx)}，C＝{y|y＝1－t2}，则x∈A是x∈B∩C的充分不必要条件.

其中真命题的序号是 ( ) A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 3

解析：由于命题“∀x∈R，都有x2－x＋1≥”是全称命题，在否定时，不仅要否定结

4论，同时需要改成存在性命题的形式，故①正确；由于命题：“在△ABC中，若A<30°，1

则sinA<”是真命题，其逆命题是假命题，所以在逆命题、否命题、逆否命题中真命

2题只有逆否命题，故②不正确；

ππ

∵y＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋)，由x∈[，π]得

36ππ4π

x＋∈[，]，∴y∈[－3，2]，故③正确；

323

对于④，∵A＝{0,1}，B＝[0，＋∞)，C＝[0,1]，∴B∩C＝[0,1]，∴x∈A⇒x∈B∩C，而x∈B∩C x∈A，故④正确. 答案：C

6.(文)设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}， 则图中阴影部分表示的集合是 ( ) A.{x|－2≤x＜1} B.{x|1＜x≤2} C.{x|－2≤x≤2} D.{x|x＜2}

解析：阴影部分表示的集合为N∩∁UM＝{x|1＜x≤2}. 答案：B

7.“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：当a＝1时，函数f(x)＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为增函数，而当函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数时，只要a≤1即可. 答案：A

8.下列说法正确的是 ( ) ππ

A.函数y＝2sin(2x－)的图象的一条对称轴是直线x＝

612

B.若命题p：“存在x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2－x－1≤0” 1

C.若x≠0，则x＋x≥2

D.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件

ππkππ

解析：对于A，令2x－＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，即函数y＝2sin(2x

6223πkπππ

－)的对称轴集合为{x|x＝＋，k∈Z}，x＝不适合，故A错；对于B，存在性623121

命题的否定为全称命题，故B正确；对于C，当x＜0时，有x＋≤－2；对于D，a

x＝－1时，直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0也互相垂直，故a＝1是两直线互相垂直的充分而非必要条件. 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中的横线上)

9.下列结论：

π

①若命题p：∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1；命题q：∀x∈(，π)，tanx>sinx.则命题“p

2∧ q”是真命题；

a

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

b③命题：“所有末位数字是0的整数都能被5整除”的否定是假命题.其中正确结论的序号为 (把你认为正确结论的序号都填上).

解析：①中命题p为真命题，命题q为假命题，所以p∧ q为真命题，故①正确； ②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确； ③正确.所以正确结论的序号为①③.

答案：①③

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

10.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}.

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围. 解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1,2}.

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程， 得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；

当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a的值为－1或－3；

(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3). ∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得

矛盾；

综上，a的取值范围是a≤－3.

1

11 .(本小题满分12分)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不

16等式2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.

解：命题p为真命题⇔函数f(x)＝lg(ax2－x＋即ax2－x＋

1

a>0对任意实数x均成立， 16

1

a)的定义域为R， 16

得a＝0时，－x>0的解集为R，不可能； 或者 ⇔a>2.

所以命题p为真命题⇔a>2.

命题q为真命题⇔2x＋1－1即a>2x＋1－12

＝对一切正实数x均成立， x2x＋1＋1

由于x>0，所以2x＋1>1. 所以2x＋1＋1>2，所以2

<1. 2x＋1＋1

所以，命题q为真命题⇔a≥1. ∵p或q为真命题，p且q为假命题， ∴p、q一真一假.

若p为真命题，q为假命题，无解； 若p为假命题，q为真命题，则1≤a≤2. ∴a的取值范围是[1,2].

12.(本小题满分14分)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}. (1)若B⊆A，求实数m的取值范围； (2)当x∈Z，求A的非空真子集个数；

(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围. 解：(1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅满足B⊆A； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立， 需 ，可得2≤m≤3. 综上，当m≤3时有B⊆A.

(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}. ∴A的非空真子集个数为28－2＝254.

(3)∵x∈R，且没有元素x使x∈A与x∈B同时成立. 则①若B＝∅，即m＋1>2m－1，得m<2时满足条件.

②若B≠∅，则要满足条件 或 解之，得m>4. 综上，有m<2或m>4.