数学必修1第二章 第11课时(考前练习及解析)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题

1．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3，3]上的最小值是( ) A．－9 C．－12

B．－16 D．－11

解析： 由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2. 又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9， ∴函数f(x)在[－3，3]上的最小值为－16. 答案： B

2．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )

A．f(x)在x＝1处取得极小值 B．f(x)在x＝1处取得极大值 C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数

解析： 由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数． 答案： C

3．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞)

C．(－∞，0)和(0，＋∞) e

解析： f′(x)＝1＋，

xe

令f′(x)>0得，>－1.

x

又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，即x>0， e

∴>－1恒成立． x

∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案： A

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )

1

B．(－∞，0) D．R

A．11或18 C．18

B．11 D．17或18

解析： ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，

1＋a＋b＋a2＝10，

∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即

3＋2a＋b＝0.a＝－3，a＝4，

解得或 b＝3b＝－11.

a＝－3，而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．

b＝3，

∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.∴f(2)＝18. 答案： C

ln x

5．若f(x)＝，exA．f(a)>f(b) C．f(a)答案： A

6．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式f(x)f′(x)>0的解集是( )

B．f(a)＝f(b) D．f(a)f(b)>1

1－ln x

，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)，x2

A．(－∞，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)

解析： f(x)图象如图

①当x>0，f′(x)>0，若f(x)·f′(x)>0，则只需f(x)>0，由图得x∈(1，＋∞)． ②当x<0，f′(x)<0，若f(x)·f′(x)>0，则只需f(x)<0，由图得x∈(－1，0)． 综上，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)． 答案： B

2

二、填空题

1

7．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．

21f′（x）＝x－x>0，

解析： 由得x>1.

x>01f′（x）＝x－x<0，

得00

11∴f(x)在x＝1时，取得最小值f(1)＝－ln 1＝.

221

答案：

2

8．如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有以下四种说法：

(1)f(x)在(－3，1)上是增函数； (2)x＝－1是f(x)的极小值点；

(3)f(x)在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数； (4)x＝2是f(x)的极小值点； 以上正确的序号为________．

解析： 从图中可知：在(－3，－1)上f′(x)<0， 即f(x)在(－3，－1)上为减函数，∴(1)不正确； ∵在(－3，－1)上，f′(x)<0，(－1，2)上，f′(x)>0， ∴x＝－1是f(x)的极小值点．

又∵在(2，4)上f′(x)<0，f(x)为减函数，在(－1，2)上，f′(x)>0，f(x)为增函数，x＝2为极大值点，

∴(2)正确，(3)正确． 答案： (2)(3)

9．将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．

解析： 设剪成2段中其中一段为x cm， 另一段为(52－x)cm，依题意知： x2x3（52－x）2（52－x）S＝·＋· 661010＝

123

x＋(52－x)2， 1850

3

13

S′＝x－(52－x)，

925令S′＝0，则x＝27. 另一段为52－27＝25(cm)． 此时Smin＝78(cm2)． 答案： 78 cm2 三、解答题

1

10．已知函数f(x)＝＋ln x(a≠0，a∈R)．求函数f(x)的极值和单调区间．

x11x－1

解析： 因为f′(x)＝－2＋＝2，

xxx令f′(x)＝0，得x＝1， 又f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (0，1) －  1 0 极小值 (1，＋∞) ＋  所以x＝1时，f(x)的极小值为1. f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． 1

11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)．

3(1)若x＝1为f(x)的极值点，求a的值；

(2)若y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0，求f(x)在区间[－2，4]上的最大值．

解析： (1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1， ∵x＝1是f(x)的极值点，

∴f′(1)＝0，即a2－2a＝0，解得a＝0或2. (2)∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上．∴f(1)＝2， 1

∵(1，2)在y＝f(x)的图象上，∴2＝－a＋a2－1＋b，

3又f′(1)＝－1，∴1－2a＋a2－1＝－1， 8

∴a2－2a＋1＝0，解得a＝1，b＝，

318

∴f(x)＝x3－x2＋，f′(x)＝x2－2x，

33

由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点． 84

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，

33

4

∴f(x)在区间[－2，4]上的最大值为8.

ex

12．(2011·安徽卷)设f(x)＝，其中a为正实数．

1＋ax24

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；

3

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 解析： 对f(x)求导得

2

x1＋ax－2axf′(x)＝e22.①

（1＋ax）

4

(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，

331

解得x1＝，x2＝.

22结合①，可知

x f′(x) f(x) －∞，1 2＋  1 20 极大值 1，3 22－  3 20 极小值 3，＋∞ 2＋  31所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．

22

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知1＋ax2－2ax≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.

所以a的取值范围为{a|0＜a≤1}．

5