函数图像知识

图象的一般知识

1、作图：函数图象的画法：①描点法作图；②利用图象特征作图（简化的描点法）；③利用基本函数的图象，通过变换作图。 （1）、描点法作图。

步骤：确定函数的定义域；化简解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、值域等）；确定关键点（区间端点、极值点与坐标轴的交点）；画出函数的图象。 （2）、利用图象特征作图：

当已知要作图的函数图象的形状及特征时，就可以只找到图象的关键点即可画出图象，而没必要再严格按照描点画图法作图。例如：一次函数是一条直线，所以只需找两个任意的不同点就可以画出图象；画二次函数的图象只需确定顶点，开口方向，以及与坐标轴的交点； （3）、利用基本函数的图象，通过变换作图。

图象变换规律都是以具体函数为例子（如二次函数、正弦函数、余弦函数），先利用描点法画出图象，再从图象中观察总结出来的。

常用图象的变化规律：

①平移变换：以下假设a>0, >0

把函数y＝f (x)的图象向左平移a个单位，得到y＝f (x＋a)的图象； 把函数y＝f (x)的图象向右平移a个单位，得到y＝f (x－a)的图象； 把函数y＝f (x)的图象向下平移a个单位，得到y＝f (x)－a的图象； 把函数y＝f (x)的图象向上平移a个单位，得到y＝f (x)＋a的图象；

把函数y＝f (x)的图象向右平移a个单位，得到y＝f (x－a)的图象； ②对称变换：

函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于原点对称；

－

函数y＝f (x)与y＝f1(x)的图象关于直线y＝x对称（互为反函数的函数图象间的关系）。 ③绝对值变换：

将y＝f (x)在x轴上方的图象（包括与x轴的交点）保留，下方的图象以x轴为对称轴翻折到上方，可以得到y＝|f (x)|的图象；

将y＝f (x)在y轴右侧的图象（包括与y轴的交点）保留，左侧图象去掉，再将右侧的图象以y轴为对称轴翻折到左侧，可以得到y＝f (|x|)的图象； ④伸缩变换：以下假设A>0, >0

把函数y＝f (x)的图象每个点的纵坐标伸长到原来的A倍（或缩短到原来的(x)的图象；A>1时伸长，0把函数y＝f (x)的图象每个点的横坐标伸长到原来的

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1），得到y＝Af A1），得到y＝f

1倍（或缩短到原来的

河北安新中学 杨文增 图象专题

(x)的图象；0< <1时伸长， >1时缩短.

图象在变换的同时，图象的一些特征（例如：对称中心、对称轴、顶点、渐进线）也会随着变换

2、识图：

观察图象，要能从图象的上下、左右分布范围、变化趋势、对称性、特殊性、与坐标轴的交点等方面研究与图象对应的函数的定义域、值域（最大值、最小值）、单调性、奇偶性、周期性等，要注意图象与函数解析式中参数的关系。 3、用图：数形结合思想：图象是解题的有力工具。

对常用的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其特征要熟记在心。 函数图象应用典型题目类型： （1）、考察函数解析式的变化与图象平移对称之间的联系 （2）、由图象的判断方程解的个数。 （3）、由图象解不等式。 （4）、由有制约关系的两个解析式，判断它们的图象正误。 （5）、由图象及函数性质比较大小。 （6）、由图象求解析式。 4、函数图象的其它知识： （1）、函数的图象、方程、不等式间的关系（解不等式的基础）： ① 设函数y＝f (x)的方程是f (x)＝0；不等式是f (x)＞0和f (x)＜0。

函数y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标恰好是方程f (x)＝0的解且交点个数与解的个数相同。

② 函数y＝f (x)的图象在x轴上方图象对应着不等式f (x)＞0的解；函数y＝f (x)的图象在x轴下方图象对应着不等式f (x)＜0的解。 ③ 若函数y＝f (x)的图象全部在x轴上方，则不等式f (x)＞0恒成立，即解集为R，不等式f (x)＜0恒不成立，即解集为。

④ 若函数y＝f (x)的图象全部在x轴下方，则不等式f (x)＜0恒成立，即解集为R，不等式f (x)＞0恒不成立，即解集为。 （2）、方程根的个数问题：设方程为f (x)＝g (x)，即f (x)－g (x)＝0 ① 若函数y＝f (x)－g (x)的图象容易画出，则可利用上面的①来判断。

② 若函数y＝f (x)－g (x)的图象不容易画出，则可画出函数y＝f (x)与y＝g (x)的图象，两者的交点个数即为方程f (x)＝g (x)解的个数。 依据：方程f (x)＝g (x)是解方程组yf(x)的中间步骤，而方程组的解的个数等于函数y

yg(x)＝f (x)与y＝g (x)的图象两者的交点个数。 （3）、函数图象的对称轴：

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图象特点：f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，对称轴与f (x)的图象不一定相交。 若函数f (x)对于定义域内的任意x都有f (a＋x)＝f (a－x)（a为常数），则f (x)的图象关于直线x＝a对称。一般的若f (a＋x)＝f (b－x)（a，b为常数)，则f (x)的图象关于直线x称；函数y＝f (x)与y＝f (m－x)的图象关于直线xab对2m对称； 2（4）函数图象的对称中心：

图象特点：f (x)的图象关于直线x＝a成轴中心对称图形，对称中心不一定在f (x)的图象上。 若函数f (x)对于定义域内的任意x都有f (a＋x)＋b＝f (a－x)－b（a为常数），则f (x)的图象关于点（a，b）。

（5）函数图象的渐进线：函数图象无限靠近但永不相交的直线。 例如：x轴是所有指数函数的渐进线，y轴是所有对数函数的渐进线。 （6）函数图象的极值点： 例如：如下图函数f (x)＝x2－2|x|＋1有极值点（0，1），但它不是最值点。

y

1 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨

0 x 习题： 1、作图：

利用图象变换的方法作出下列各个函数的图象：

① y|2x3|； y＝log2|x|； y＝|log2x|； y＝|x2－1|； yx22x1；

1f(x)x2x1 ；y2＋

x1

② y＝2x1－1； y＝log2(x－1)；y112x； y＝； ylog； (x)1x1x122ylog1x； ylog1(x)；ylog13(x2)；

22③ y1x2；

2、图象过点问题：

（1）已知y＝f (x)函数的图象过点(1,1),那么f(4－x)的反函数的图象一定过下列各点中的（ ）

A.(1,4) B.(4,1) C.(3,1) D.(1,3) （2）函数yloga(

2x2)＋5的图象恒过定点P，则P点的坐标为 （－2，5） x-1 3 / 8

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3、根的个数、交点的个数问题：

（1）试讨论方程1xkx的实数根的个数。 （2）函数y＝2x与y＝x2图象交点个数是 _____ 。 A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个 （3）已知0＜a＜1，方程axlogax的实根个数是 个。

（4）若关于x的方程2x1xm有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。 （5）m取何值时关于x的方程x22(m2)xm310

①有两个正根；②有一个正根，一个负根；③有两个都大于2的根；④有一根位于区间（0,1）内，另一根位于区间（1,2）内。 简答：①5m1或m1②m5③1m1④15m1 41、方程log2(x＋4)＝3x的是根个数为 2 个。

－2、方程ax＝logax (a>0,且a≠1)解的个数为 1 个。

8、方程2x＝x2的解的个数为 （ B ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 10、关于x的方程axlog1x,(a0,a1)（C）

a(A)仅当a＞1时,有唯一解 (B)仅当0＜a＜1时,有唯一解 (C)必有唯一解 (D)必无解 4、求解析式：

（1）若函数y＝log2（x＋2）的图象与y＝ f (x)的图象x＝1对称，求出y＝f (x)的表达式。

*（2）一个函数的图象如图（图象由两条射线和抛物线组成），请求出它的解析式。 （3）已知yf(x)的图象，则f(x)＝____________。 并作出函数y＝f (|x|)；y＝|f (x)| 以及y＝f1(1－x)的图象。

－

关于直线的一部分

f(x)x1　　x[1,0)

x　　x[0,1]∈(0,析式

（4）已知函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－1对称且x＋∞)时有f (x)＝为 ( )

(A) y＝－

1,则当x∈(－∞,－2)时，y＝f (x)的解x1111 (B) y＝ (C) y＝ (D) y＝－ x2xx2x2 4 / 8

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（5）设有三个函数，第一个函数是y＝f (x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的图象关于原点称，那么第三个函数是____________。 5、解不等式：

（1）已知函数y＝f (x)的图象如图，

则f (x)＞0的解集是 ________________ ； f (x)≤0的解集是 _____________ ；

函数y＝f (x)的增区间是__________________； 减区间是_____________________ ； 函数y＝f (x)的最大值是 _______， 最小值是 _______ 。

（2）若f(x)为偶函数，在(,0]上是减函数，又f ＝0，则x f (x)>0的解集是___________.

（3）不等式1-x2xa在x∈[－1，1]上恒成立，数a的取值范围是 。

（4）m2时，不等式2x1m(x1)恒成立，则实数x的取值范围是______。 6、图象的判断

（1）如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0hH），则该函数的图象是（ ）

2(－2)

则实

（2）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横坐标表示出发后的时间，则图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）

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（3）已知函数y1x2（0x1），则它的反函数图象是（ ）

（4）如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止。

① 若水量V与水深h的函数图象是图a，则水瓶的形状是____________。 ② 若水深h与注水时间t的函数图象是图b，则水瓶的形状是____________。 ③ 若注水时间t与水深h的函数图象是图c，则水瓶的形状是____________。 ④ 若水量V与注水时间t的函数图象是图d，则水瓶的形状是____________。 （5）已知y＝f (x)的图象如图(A)，则y＝f (－x)的图象是_______；y＝－f (x)的图象是_______；y＝f (x)的图象是______；y＝f (x)的图象是_______。

（6）若函数f (x)的定义域和值域都是（－∞，0），那么函数y＝－f (－x)的图象一定经过的象限是______。（第一象限） （7）函数y13x1的图象关于__________对称；函数y的图象关于__________对x1x2 6 / 8

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称。y＝±(x－1)；

（8）某人骑车沿直线匀速旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿着原路返回b km，（b7、变换

（1）将yf(x1)2的图象作＿＿＿＿＿＿（变形）

得到移一图象，

7题图

yf(x)的图象。

（2）把函数y(2x1)22,（x1）的图象向左平个单位，在向上平移一个单位，得到函数yf1(x)的则f (x)＝_______________。

（3）由函数ylog(3x)的图象得到函数

ylog(3x3)的图象要经过变换：

A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位

C. 向左平移3个单位 D. 向右平移3个单位

（4）函数yf(x)是定义在区间（－2，3）上的增函数且值域为（1，5），那么yf(x5)2的单调递增区间是__________，值域为__________

（5）将函数y＝f (2x－3)的图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移5个单位后，所得到的函数解析式是_______________。（y＝f (2x－7)＋5） 综合：

1、设曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴，y轴正方向分别平移t，s单位长度后得曲线C1，(1)写出曲线C1的方程；

(2) 证明曲线C与C1关于点A,对称；

t3(3) 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：st且t≠0

42、已知函数f (x)＝x2－1(x≥1)的图象为C1，曲线C2与C1关于直线y＝x对称。（1）、求曲

ts22线C2的方程y＝g(x)；（2）、设函数y＝g(x)的定义域为M，x1,x2∈M，且x1≠x2。求证：|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|。

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*3、已知函数：f(x)x1，（图象如右图）。 x（1）如何由此图象得到函数f (x－3)，f (－x)，f (x＋1)－2，f (x－2)＋3的图象。 （2）如何由此图象得到函数f (－x)，－f (x) ，－f (－x)的图象； （3）如何由此图象得到函数f (1－x)，－f (5－x) 的图象； （4）如何由此图象得到函数f (|x|)，|f (x)|的图象；

（5）如何由此图象得到函数f (|x－3|)，|f (x－3)|的图象；

（6）如何由此图象得到函数f (2x)，f (

3x)的图象； （7）如何由此图象得到函数f(3x-6)f(x4-6)的图象；

（8）已知函数f (x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，试画出函数g(x)的图象并写出它的解析式。

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