宁化县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A．24 B．18 C．48 D．36

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 2． 已知||=3，||=1，与的夹角为

，那么|﹣4|等于（ ）

A．2 B． C． D．13

3． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

3x4y110与圆C：3x4y40上任意4． 已知直线m：(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：一点，则PAB的面积为（ ） A．23 B.

33 C. 33 D. 43 2

5． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示． 旧设备 新设备

杂质高 37 22

杂质低 121 202

根据以上数据，则（ ） A．含杂质的高低与设备改造有关 B．含杂质的高低与设备改造无关 C．设备是否改造决定含杂质的高低 D．以上答案都不对

6． ABC中，“AB”是“cos2Bcos2A”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.

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7． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别

，则下列判断正确的是（ ）

、

A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定

C．D．＞，甲比乙成绩稳定 ＞，乙比甲成绩稳定

8． 方程x= 所表示的曲线是（ ） A．双曲线 C．双曲线的一部分

B．椭圆

D．椭圆的一部分

9． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ） A．36π C．60π

B．48π D．72π

x2y210．椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2，点P是C上异于A1,A2的任意一点，且直线PA1斜率的

43取值范围是1,2，那么直线PA2斜率的取值范围是（ ）

A．, B．, C．,1 D．,1

244248313313【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．

11．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为

1时，则输入的值为（ ） 2

A．2 B．1 C．1或2 D．1或10

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12．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）（ ） A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6 B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6 C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6 D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6

二、填空题

13．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

14．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．

15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数fx＝－xlnx＋ax在0，e上是增函

a23数，函数gx＝e－a＋，当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a的值

22x为______.

16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fx是奇函数fx的导函数，f10，当x0时，

xfxfx0，则使得fx0成立的x的取值范围是__________．

18．已知椭圆且θ∈[

，

+

=1F为其左焦点，（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，

]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．

三、解答题

19．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y 轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0. 33，求AOB面积的最大值. 2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

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20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

21．设函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

的最小正周期；

在

上的最大值与最小值．

．

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

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（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． y2

23．若已知

24．在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0． （1）求角A的大小；

（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．

，求sinx的值．

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宁化县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.

2． 【答案】C ，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

3． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

4． 【答案】 C

【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.

圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB的面积为

1|AB|d33，选C． 2

5． 【答案】 A

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【解析】

独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．

【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 旧设备 新设备 合计

2

由公式κ=

杂质高 37 22 59

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382

≈13.11，

由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的． 【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题． 6． 【答案】A.

22

2

2【解析】在ABC中cos2Bcos2A12sinB12sinAsinAsinBsinAsinB

AB，故是充分必要条件，故选A.

7． 【答案】A

【解析】解：由茎叶图可知

=（75+86+88+88+93）=故选：A

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．

8． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．

22

两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），

=（77+76+88+90+94）==86，则

＜

，

，

乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，

表示的曲线为双曲线的一部分；

【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．

9． 【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b， 则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，

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1

又V四棱锥P－ABCD＝S矩形ABCD·PO

3

12＝abR≤R3. 332

∴R3＝18，则R＝3， 3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A. 10．【答案】B

11．【答案】D 【解析】

2xx011x试题分析：程序是分段函数y ，当x0时，2，解得x1，当x0时，lgx，

22lgxx0解得x10，所以输入的是1或10，故选D.

考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 12．【答案】D

【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数， ∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6， ∵函数f（x）是偶函数，

∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6， 故选：D

二、填空题

13．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

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化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．

【解析】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0， 故答案为x﹣y﹣2=0．

【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．

15．【答案】

【解析】fx1lnxa，因为fx在0，e上是增函数，即fx0在0，e上恒成立，

5 2alnx1，则alnx1max，当xe时，a2，

a2a2x,t1,3， 又gxea，令te，则gtta22a2a2（1）当2a3时，gtmaxg1a1，gtminga，

2235则gtmaxgtmina1，则a，

22a2a2（2）当a3时，gtmaxg1a1，gtming3a3，

22x第 9 页，共 17 页

则gtmaxgtmin2，舍。

a5。 216．【答案】2300 【解析】111]

x0y0试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则，求目标函数Z200x300y的

5x6y5010x20y140最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.

1111]

考点：简单线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为Z元，则Z200x300y，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值. 17．【答案】,10,1

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【解析】18．【答案】 [

，

﹣1] ．

）；

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤F（﹣c，0）； ∵AF⊥BF， ∴

=0，

， =2c，

=

，

]， ]，

≤≤， ，

，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，

22222

故c﹣acosα﹣bsinα=0，

cos2α=故cosα=而|AF|=|AB|=而sinθ==∵θ∈[

=2﹣，

，

∴sinθ∈[，∴≤∴≤+

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∴，

即，

解得，≤e≤﹣1； ，

﹣1]．

故答案为：[

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y) 3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

131x2y21 ∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即

33x2y21 …………4分 ∴曲线C的方程为3第 12 页，共 17 页

20．【答案】

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

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∴，2a=4，解得a=2，c=1．

222

∴b=a﹣c=3．

∴椭圆C的标准方程为．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

222

∴|OP|=x+y=2

，同理可得|OQ|=

，

=

为定值．

∴=+

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立． 因此（III）当

=

为定值． =

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）． 联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件．

222∴|OP|=x+y=

，

，

=

+

=

．

2

同理可得|OQ|=

∴

2

化为（kk′）=1，

∴kk′=±1．

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∴OP⊥OQ或kk′=1． 因此OP⊥OQ不一定成立．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．【答案】

【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）因为

．

所以函数

的最小正周期为．

．

（Ⅱ）由（Ⅰ），得因为所以所以所以且当当

时，时，

，

， ．

．

取到最大值取到最小值

； ．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

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23．【答案】 【解析】解：∵∴sin（

）=﹣

）﹣

=﹣

]=sin（

．

，∴

＜

＜2π，

）sin

=﹣． ）cos

﹣cos（

∴sinx=sin[（x+=﹣

﹣

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．

24．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．

2

∴2cosA+3cosA﹣2=0，…2分

∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分 又∵0＜A＜π，

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∴A=…6分

，…

（2）∵a=2RsinA=

22222

又∵a=b+c﹣2bccosA=b+c﹣bc≥bc，

∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，… ∴S△ABC=bcsinA=

bc≤

， ． …

∴三角形面积的最大值为

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