线性代数练习册第四章习题及答案

第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则

一、选择题

1．下列说法正确的是（ C ）

A.n元齐次线性方程组必有n组解；

B.n元齐次线性方程组必有n1组解；

C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；

D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.

2．下列说法错误的是（ B ）

A.当

D0时，非齐次线性方程组只有唯一解；

B.当

D0时，非齐次线性方程组有无穷多解；

C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则

D0；

D.若非齐次线性方程组有无解，则

D0.

二、填空题

1．已知齐次线性方程组

x1x2x30x1x2x30x2xx0231有非零解，

则 1 ， 0 .

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D0,

Di则方程组有唯一解xi D .

三、用克拉默法则求解下列方程组

8x3y21．6x2y3

解：

D836220

D18223125D26332，

所以，

xD15D,y26D2D

2．

x12x2x322x1x23x31xxx0123

1D2211131r22r1r3r112030115500解：

1

22D11011110050113r12r21135，

1D2212101150513103r12r22101，

1D321221105001151r12r22110

所以，

x1DD1D1,x222,x331DDD

3．

2xz12x4yz1x8y3z2

2D201300158341c12c3041200解：

18

101283100285D1141c3c114020，

2D2211321010011c3c2212125，

2D3201001412041c12c30182582

所以，

xDD1D1,y20,z31DDD

x1x2x3x45x2xx4x212342x13x2x35x424．3x1x22x311x40

解：

1111r2r11214Dr32r12315r3r13121141111012305370218123123r25r15370138142r32r12180514

51112214c32c2D12315c411c20121151110225182352801005110010c15c2251827332142c10c22528323522

11511224c13c2D32325c411c231011215105221811322801001511r2r11214D2r32r12215r3r130211415110723012370151872323013r12r3123733031284r23r31518151811151212c13c2D42312c32c231202115525211352010025102002c25c1152185297426c35c1211228115127215215r3r25525027142r25r11152604

所以，

x1DD1DD1,x222,x333,x441DDDD

§4-2 齐次线性方程组

一、选择题

1．已知mn矩阵A的秩为n1，1,2是齐次线性方程组AX0

的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组AX0的通解为（ D ）.

A.k1； B.k2； C.k(12)； D.k(12).

解：因为mn矩阵A的秩为n1，所以方程组AX0的基础解系 含1个向量。而1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解， 所以120为AX0的解，则方程组AX0的通解为k(12)。

kx1x2x30x1kx2x302xxx02．设线性方程组123 有非零解，则正确的是（ C ）

A.k必定为0； B. k必定为1；

C. k为0或1； D.这样的k值不存在.

a1b1a1b2ababA2122anb1anb23．a1bna2bnanbn,且ai0(i1,2,,n)，bj0(j1,2,,n)，

则Ax0的基础解系中含有（ A ）个向量.

A.n1； B.n； C.1； D.不确定.

a1b1a1b2a2b1a2b2Aanb1anb2解：因为

a1bna1a2bna2bb12anbnanbn

所以，R(A)1；又a1b10R(A)1，所以，R(A)1。

4．设A为n阶方阵，r(A)n3 ，且a1,a2,a3是Ax0的三个

线性无关的解向量，则Ax0的基础解系为（ A ）．

A．a1a2,a2a3,a3a1； B．a2a1,a3a2,a1a3；

12a2a1,a3a2,a1a32C．； D．a1a2a3,a3a2,a12a3．

二、填空题

1．n元齐次线性方程组AmnX0有非零解的充分必要条件是 R(A)n .

(1)x12x24x302x1(3)x2x30xx(1)x030或2或32．当 时，齐次线性方程组12有非零解.

3．写出一个基础解系由

12,1,0T，

23,0,1T组成的

齐次线性方程组___ __x12x23x30 .

解：方程组可为

x12x23x3x2x2xx33

即x12x23x30

x12x23x33x47x503x2xxx3x012345x12x32x46x50三、求解齐次线性方程组5x14x23x33x4x50

解：

13A152337312r3r212113048r3r10210226r5r1433140612123371r(1/3)r2(1/4)301226r22r30r32r20033110r46r2r12r23r3000000381120100001072413604/304/3111/300

4x5/3x1x4x5/32x3x411x5/3xx44x5x5所以，同解方程组为，

04/304/311,211/31001为一组基础解系， 则

所以，通解为xk11k22。

x12x22x302x1x2x303xxx0四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组123 的解.

①求的值；②证明B0.

① 解：

因为3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。

12122101系数行列式

A31。

② 证明：依题意，ABO。假设

B0，则B可逆，

ABOABB1OB1AO，矛盾。所以，B0。

补充：求证：

Amn,Bnp，AB0R(A)R(B)n.

证明：依题意，矩阵B的所有列向量

1,,p都是齐次线性方程组

Ax0的解，而Ax0解空间的维数是nR(A)，

所以，

R(B)R(1,,p)nR(A)，即R(A)R(B)n。

§4-3 非齐次线性方程组

一、选择题

1．若R(A)rn，则n元线性方程组AmnXb D .

A.有无穷多个解； B.有唯一解； C.无解； D.不一定有解.

x1x212．线性方程组x1x20 （ A ）.

A. 无解； B. 只有0解； C. 有唯一解； D. 有无穷多解.

3．方程組

x1x2x31x1x2x32x1x2x3 有唯一解，则应满足（ A ）.

A.1,2； B.1,2； C.1,2； D.1,2.

100

4．设A＝1

a1100

a110b2a3011

a001

，4，Axb有解的充分必要条件为（ D ）．

A.a1a2a3a4； B.a1a2a3a41；

C.a1a2a3a40； D.a1a2a3a40 .

二、填空题

1．n元非齐次线性方程组AmnXb有解的充分必要条件是 R(A)R(A,b).

2．若5元线性方程组AXb的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则rA3 . 3．设有一个四元非齐次线性方程组AXb，R(A)3，又1,2,3是它的三个

解向量，其中

12(1,1,0,2)T，

23(1,0,1,3)T，则非齐次线性方程组的

TTk(0,1,1,1)(1,1,0,2)通解为 .

解：因为1,2,3是AXb三个解向量，则

(12)(23)(1,1,0,2)T(1,0,1,3)T(0,1,1,1)T0是AX0的解，

T(0,1,1,1)R(A)3而，所以是AX0的一组基础解系，

11(12)(1,1,0,2)T2又2是AXb的解，

TTk(0,1,1,1)(1,1,0,2)AXb所以，的通解为

2x3yz4x2y4z53x8y2z13三、求解非齐次线性方程组4xy9z6

解：

410212311245r0112A=38213~000041960000

x2z1yz2zz同解方程组为

211令为一组基础解系

x21yc12,(cR)z10则通解为

四、a,b取何值时，线性方程组

x1ax2x33x12ax2x34xxbx4312

（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？

说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,

有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式|A|0, 此种方法简单

又不容易出错.

解: 方程组有唯一解系数行列式|A|0

rr而|A|12a1210a0r3r111b01ab1按第一列展开1(1)11a01ab1a(b1)01a11a1

(1)当a0且b1时,方程组有唯一解 (2)当a=0时,增广矩阵13131013r2r11010rr3(A,b)=1014r3r10001201b1111b4~01b11~0001则R(A)2R(A,b)3,此时方程组无解. (3)当b=1时,1a131(A,b)=4rr1114r2r1112a131114212a14rr02a~1113311~0a1 当a=1/2时,(A,b)~111411140000rr2301/20101/201~0000则R(A)2R(A,b)3, 此时方程组有无穷多解. 当a1/2时,114(A,b)~102a1000001则R(A)2R(A,b)3,此时方程组无解.140001