用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0，y0)及斜率，其求法为：设P(x0，y0)是曲线yf(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：yy0f(x0)(xx0)．若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为xx0．

下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（ ） A．y3x4 C．y4x3

B．y3x2 D．y4x5

解：由f(x)3x26x则在点(1，1)处斜率kf(1)3，故所求的切线方程为

y(1)3(x1)，即y3x2，因而选B．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2 与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（ ） A．2xy30 C．2xy10

B．2xy30 D．2xy10

0

解：设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx2x02．

∴x01．

由此得到切点(11)，．故切线方程为y12(x1)，即2xy10，故选D． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1，故选D．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

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过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例3 求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程． 解：设想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx3x022．

0∴切线方程为yy0(3x022)(xx0)．

y(x032x0)(3x022)(xx0)．

又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x032x0)(3x022)(1x0)． 解得x01，或x0．

故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y12x，即84213112xy20，或5x4y10．

评注：可以发现直线5x4y10并不以(1，1)为切点，实际上是经过了点

17这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，(1，1)且以，为切点的直线．

28解决此类问题可用待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程． 解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx01x1． x02∴切线方程为yy0111，即(xx)y(xx0)． 0x02x0x02112(2x0)． x0x0又已知切线过点(2，0)，把它代入上述方程，得解得x01，y011，即xy20． x0评注：点(2，但在解答过程中却无需判断它的确切0)实际上是曲线外的一点，位置，充分反映出待定切点法的高效性．

例5 已知函数yx33x，过点A(016)，作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．

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解：曲线方程为yx33x，点A(016)，不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，

则点M的坐标满足y0x033x0． 因f(x0)3(x021)，

故切线的方程为yy03(x021)(xx0)．

点A(016)，在切线上，则有16(x033x0)3(x021)(0x0)． 化简得x038，解得x02．

所以，切点为M(2，2)，切线方程为9xy160．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．

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