高等数学-导数的概念-教案

教学 合班2： 专业 班 合计 人 对象 合班3： 专业 班 合计 人 合班1： 专业 班 合计 人 授课日期 地点 计划 学时 教学 内容 （课题） 第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 2 通过学习，学生能够： 1. 理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2. 理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3. 理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标： 1. 理解导数的概念； 2. 理解导数的几何意义； 3. 把握可导与连续的关系。 技能目标： 的导数； 2． 会求曲线的切线。 素养目标： 能力和解决问题的能力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 1． 会用定义求函数在一点处1．培养学生的数学思维教学 重点 难点 教学 资源 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见 对授课计划修改意见 对本教案修改意见 需增加资源 其他 教研室主任： 系主任： 教务处： .

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教学活动流程 教学步骤与内容 教学目标 对前面的知教学方法 时间 A.复习内容 1．极限的定义 2.极限的计算方法 识进行复习 与巩固，并简述 为新知识和 新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书(或PPT展示)课题 明确本次课的内容重点及目标 简介 辅以 PPT展示 讲解 6mins B.板书课题，明确学习目标及主要学习内容 2mins （略。详见教案首页） C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1. 变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为ss(t)，求质点在t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t， 那么质点在时刻t0与时刻t0t间隔内的平均速度也就是 20mins 辅以PPT展示 引入导数概念 s(t0t)s(t0) 质点在时刻t0的瞬时速度为v0vt在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻t0任给时间一个增量t，考虑质点由 s(tt)s(t0)t0到t0Vt这段时间的平均速度：v0 t .

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当时间间隔t很小时，其平均速度就可以近似地看作 讲解 5mins 时刻t0的瞬时速度．且t越小，接近的程度就越好．因此， 当t0时，如果平均速度s的极限存在，那么，就把 t 这个极限称为物体在t0时刻的瞬时速度，即： v0limvlims(t0t)s(t0)． t0t0t2.曲线切线的斜率 定义 设点P0是曲线L上的一个定点，点P是曲线L 上的动点，当点P沿曲线L趋向于点P0时，如果割线PP0 的极限位置PT存在，则称直线PT为曲线L在点P处的切 000线 设曲线方程为y =f(x)在点P0(x0，y0)处的附近取一点 P(x0x,y0y) 那么割线P0 P的斜率为tanyf(x0x)f(x0) 如果当点 P 沿曲线趋xx 向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在，即点P0处的切 线存在，此刻x0,，割线斜率tan趋向切线 P0 T 的斜率 tan a，即，tanlimx0f(x0x)f(x0) . x 二、导数的定义 定义: 设函数yf(x)在点x0的一个邻域内有定 义。在x0处给x以增量x（x仍在上述邻域内)，函数y y相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果lim存 x0x在，则称此极限值为函数yf(x)在点x0处的导数.记作：总结概括导数dy，即 f'(x)或y'xx或0dxxx0f'(x)limx0定义 f(x0x)f(x0) x此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极 限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导. 2例1、求函数f (x) = x 在 x0 = 1 处的导数，即 f / (1). .

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解:第一步求y：yf(1x)f(1)(1x)2122x(x)2 会用定义求函数在一点处的导数 理解导数的几何意义 讲解 讲解 讲练结合 简单介绍 讲解 7mins 10mins 7mins 3mins 5mins y：xy2x(x)22x(x0). xxy第三步求极限：limlim(2x)2所以，x0xx0f'(1)2 第二步求三、导数的几何意义 函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0))处的切线的斜率,即：tanf'(x0)，图P46 由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为：yy0f'(x0)(xx0) 法线方程为：yy01(xx0)(f(x0)0)，其中 y0 = f ( x0). f(x0) 2例2求曲线 y = x 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程. 解：从例1 知(x2)'为 2 ，所以, 切线方程y – 1 = 2(x - 1).，即y = 2 x - 1.法线方程x1 会求曲线的切线 2即点 (1, 1) 处的切线斜率113y1(x1).，即yx 222四、导数的物理意义 对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直了解导数的物线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即s'(t0)v(t0). 理意义 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度. 五、导函数 一般地，函数 f (x) 的导函数 理解导函数的定义 f(x)limx0f(xx)f(x) x例4求 f (x) = sin x 的导函数 (x(,)). .

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yf(xx)f(x) limx0xx0x sin(xx)sinxlimx0 x xx2cosxsin 讲解 22lim x0导函数的计算 x方法 xsin x2cosx， 即： limcosxx0 2x 2(sin x)'  cos x. 解：f(x)lim 10mins 8mins 8mins 7mins 2mins 类似可得：(cos x)' - sin x. f(x0x)f(x0)定义 如果lim存在，则称此极 x0x 讲解 讲解 限值为f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 f’(x0)；同样，如 理解左导数和f(x0x)f(x0)果lim存在，则称此极限值为 f (x) 右导数的概念 x0x在点 x0 处的右导数，记作 f’ +(x0) . 显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f’ -(x0) 及 f ‘ +(x0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a, b]，则端点处可 导是指 f’+(a)、 f’-(b) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.。 理解可导与连续的关系 建立系统的知识结构，明确本节的重点，对重点内容进行复习与提高。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业 巩固所学的 知识，培养自学能力

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