指数函数与对数函数

――指数函数与对数函数

一、知识与方法梳理

1．指数的概念及运算性质

(1)如果________那么x叫做a的n次方根．其中n>1，且n∈N*.

n(2)当n为奇数时nan___，当为偶数时an___________________

(3)分数指数幂：

①规定正数的正分数指数幂的意义是amn . mn②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：a____________ ,

.0的正分数指数幂等于_______,0的负分数指数幂______________． (4)分数指数幂的运算性质 ①ar·as＝_______(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝_______(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数及对数函数的图象和性质 y=ax 图 象 a>1 01 ylogax 00,a≠1)互为反函数，其图象关于直线y=x对称 2．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念

如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记 ． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .对无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对

数，记作 . (2)对数的性质

① 没有对数；②loga1＝ ；③logaa＝ . (3)对数的运算法则

①logaMN＝ ；②logaM＝ ；③logaMn＝ N④logambn=_____________(其中a>0，a≠1，b>0,M>0，N>0.) (4)对数换底公式

logab＝ (b>0，a>0且a≠1，c>0且m≠1);logablogba＝ ；logab 二、题型训练

(一)指数与对数运算

x0log2(4x),1. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，

f(x1)f(x2),x0则f（3）的值为

( )

A.-1 B. -2 C.1 D. 2 答案 B

解析 由已知得f(1)log25,f(0)log242,f(1)f(0)f(1)2log25,

f(2)f(1)f(0)log25,f(3)f(2)f(1)log25(2log25)2,故选B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 2.（2009湖南卷文）log22的值为

11 D． 22A．2 B．2 C．答案 D 解析 由log2112log22log22,易知D正确.

2212x12 3. （2009辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()；当x＜4时f(x)＝

f(x1)，则f(2log23)＝

A.

1113 B. C. D. 24128 8答案 A

解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4 ∴f(2log23)＝f(3＋log23)

＝()3log231211log2311()()8282log1213111 8324(2f)84.（2008年山东文科卷）已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)的值等于 ． 答案 2008

解析 本小题主要考查对数函数问题。

f(3x)4xlog232334log23x233,

f(x)4log2x233,f(2)f(4)f(8)f(2)

82334(log222log223log228log22)18641442008.

8ex,x0.15.（2006年辽宁卷）设g(x)则g(g())__________

2lnx,x0.1ln111答案 g(g())g(ln)e2.

2226.（2005年上海2）方程4220的解是__________. 解析 4220(21)(22)021x0 7.（2009泉州市）已知函数f(x)=答案 -1或2 xx8.（2007年上海4）方程 96370的解是 ．

xxxxxxxlog2x(x0)1,若f(a)= . x22,(x0)答案 log37

9、已知lgxlgy2lg(x2y)，则

log2x

y的值是___________。

(二)比较大小

1.（2009全国卷Ⅱ文）设alge,b(lge)2,clge,则

（ ）

（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 答案 B

解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=2.（2009天津卷文）设alog12,blog13,c()321lge, 作商比较知c>b,选B。 2

( )

120.3，则

A a解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a0,0c1，而blog231，因此选B。

3.（2009全国卷Ⅱ理）设alog3,blog23,clog32，则

A. abc 答案 A 解析 log3B. acb C. bac D. bca

2lo2g232logb3c

log23lo2g2log3oagbab. c3l12b4.(2009湖南卷理)若log2a＜0，()＞1，则

( )

A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 答案 D

解析 由log2a0得0a,由()1得b0，所以选D项。

12b11a5.(07天津)设a,b,c均为正数，且2log1a，log1b，log2c.

2222则

A.abc 答案 A

B.cba C.cab

bc （ ）

D.bac

(三)指数函数与对数函数图象与性质的应用

x1.（2009广东卷理）若函数yf(x)是函数ya(a0,且a1)的反函数，其图像经

过点(a,a)，则f(x)

（ ）

A. log2x B. log1x C.

212 D. x x2答案 B

2.（2005年上海13）若函数f(x)1，则该函数在(,)上是 2x1（ ）

A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 答案 A

3.（2007年上海）函数ylg(4x)的定义域是 ．

x3答案 xx4且x3

11x24.（江门市2009年高考模拟考试）设函数f(x)ln()的定义域为M，g(x)的

x1x定义域为N，则MN

( )

A.xx0 B.xx0且x1 C.xx0且x1 D.xx0且x1 答案 C

5.（2009湖南卷文）设函数yf(x)在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

f(x),f(x)K, fK(x)K,f(x)K.取函数f(x)2x。当K=

1时，函数fK(x)的单调递增区间为 2 ( )

A ．(,0) B．(0,) C ．(,1) D ．(1,) 答案 C

解析 函数f(x)2x1x1()，作图易知f(x)Kx(,1][1,)， 22故在(,1)上是单调递增的，选C.

6.（2009江苏卷）已知集合Axlog2x2,B(,a)，若AB则实数a的取值范围是(c,)，其中c= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

7.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 {a|a1}

解析 设函数yax(a0,且a1}和函数yxa,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数yax(a0,且a1}与函数yxa有两个交点,由图象可知当

xx0a1时两函数只有一个交点,不符合,当a1时,因为函数yax(a1)的图象过点

(0,1),而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a1

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.

8、已知函数f(x)log0.2(x2ax3a)在区间[2,)上是减函数，则实数a的取值范围是_______________。

9.（2008年山东文科卷）已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，

则a，b满足的关系是 A．0aC．0b1

1

b1

B．0baD．0a11

（ ） y O x 1a1

b11

1 答案 A

解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得a1,0a11;取特殊点

210.(2006年重庆卷)设a0,a1，函数f(x)algx(x23)有最大值，则不等式

logax25x70的解集为 . 解析 设a0,a1，函数f(x)alg(x222x3)有最大值，∵lg(x2x3)≥lg2有最

2x25x70小值，∴ 0x5x71所以不等式的解集为2,3.

11.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数f(x)=2x的反函数yf1x的图象 是

（ ）

答案 A

12.（2009福建省）函数ylog2|x|的图象大致是

( )

答案 C

13.（2009中学第六次月考）定义区间[x1,x2](x1x2)的长度为x2x1,已知函数

f(x)|log1x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值

2的差为 . 答案 3

x

14.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=a

x

与g(x)=b的图象 （ ） A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称

C．关于y轴对称 D．关于原点对称 答案 C

解析 取满足lgalgb1的特殊值a2，则b1可得答案C. 21215.（2008年高考数学各校月考试题）已知函数f(x)()x的图象与函数g（x）的图象关于直线yx对称，令h(x)g(1|x|),则关于函数h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称； ③h(x)的最小值为0；

②h(x)为偶函数；

④h(x)在（0，1）上为减函数.

其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上） ．．

答案 ②③

(四)指数函数与对数函数的综合问题

1.(07山东)函数ylogax31(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线

mxny10上，其中mn0，则

12的最小值为 . mn答案 8

解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算. 10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)

2xb已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.

2a（1）求a,b的值；

（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围.

1b0,解得b1 2a112x121. 又由f(1)f(1)知从而有f(x)x1，解得a2 22a4a1a2x111x, （2）解法一：由（1）知f(x)x122122由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

解 （1） 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0,即f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(2t2k).

22因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2t2tk.

12即对一切tR有3t2tk0,从而412k0,解得k

32x1, 解法二：由（1）知f(x)x122222t2t122tk1又由题设条件得22t2k10

t2t122222222即(22tk12)(2t2t1)(2t2t12)(22tk1)0

整理得23t22tk1，因底数2>1，故3t22tk0

13

上式对一切tR均成立，从而判别式412k0,解得k.