杏坛中学数学科组 白建林
圆锥曲线求离心率范围问题一致是近几年高考的重点和热点,尤其是新课标卷在选择题中出现的次数比较频繁。下面本文将对求离心率问题的常见求法进行较为系统的总结,希望能对同学们有所帮助。 一.直接利用条件寻找a,c的关系求解
例1设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,
那么此双曲线的离心率为( ▲ )(A)2 (B)3 (C)3151 (D) 22x2y2解析:选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上,设其方程为:221(a0,b0),
abbbbb()1,则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为:,直线FB的斜率为:,
acacc51. a2例2 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个交点分别在左
b2ac c2a2ac0,解得e、右两支上,则双曲线的离心率的取值范围是( ▲ ) A.e2 B.1e3 C.1e5 D.e5
x2y2解析 设双曲线的方程为221(a0,b0),右焦点的坐标为(c,0),
abx2y212222222直线l的方程为y2(xc).由a2b2,得(b4a)x8acxa(4cb)0.
y2(xc)64a4c24a2(b24a2)(4c2b2)02222根据题意得,222b4a0,c5a0.e5. a(4cb)0x1x2b24a2小结 将直线的方程与双曲线的方程联立后,使判别式大于零,同时注意x1x20.
二、利用圆锥曲线的第一定义或第二定义求解
x2y2例1设F1,F2分别是双曲线22的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使F1AF290
ab且AF13AF2,则双曲线的离心率为( ▲ )
A.5 2 B.10 2 C.15 2
D.5 ìAF1-AF2=2AF2=2aïï?a解í222ïïî(AF1)+(AF2)=(2c)
2c?e101
10 2x2y2例2 双曲线221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,|PF1|2|PF2|,
ab则双曲线离心率的取值范围是( ▲ )
A.(1,3) B.(1,3] C.(3,) D.[3,)
解析 由双曲线的定义得|PF1||PF2||PF2|2a,|PF1|2|PF2|4a. ∴|PF1||PF2||F1F2|.∴6a2c,c3. a故双曲线离心率的取值范围是(1,3],选B.
x2y2例3 双曲线221(a0,b0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双
ab曲线离心率的取值范围是( ▲ )
A.(1,2] B.[2,) C.(1,12] D.[12,)
a2a2aa(e1)a. 解析 利用双曲线的焦半径公式有ex0a(e1)x0cca2∴e11e2e1012e12.又双曲线的离心率e1,所以选C.
c小结 圆锥曲线上的点到焦点的距离或到准线的距离,通常要用它们的第一定义或第二定义来建
立联系.
三、利用圆锥曲线的范围(有界性)求解
x2y2例1 椭圆M:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上的任意一点,且
ab2222的最大取值范围是,其中,则M的离心率e的范围为( ▲ ) [c,3c]cabPFPF12A.[,] B.[,114212122] C.[,1) D.[,1)
222222x2y21, 解析设F1(c,0),F2(c,0),P(x,y),则PF1PF2xyc.又2ab2b2x2b22c2222222222,0xaPFPF(1)xbcxbc∴yb.∴, 12222aaa12.选B. x2[0,a2].当x2a2时,|PF1PF2|maxb2,c2b23c2e22小结 确定椭圆上点P(x,y)与a,b,c的等量关系,由椭圆的范围,即|x|a,|y|b建立不等关
系.如果涉及到曲线上的点到焦点的距离的有关问题,可用曲线的焦半径公式分析.
四、利用数形结合求解
bx2y2例1 如右图所示,椭圆221(ab0)和圆x2y2(c)2(其中c为椭圆的半焦距)有
2ab四个不同的交点,求椭圆的离心率的取值范围.
b解析 要使椭圆与圆有四个不同的交点,只需满足bca, 222b2cb4c2即 22b2a2cb4a8ac4c22222y O x c2a5c53ac4c2. 2e5a22255ac3a5c03a5cac4a8ac4c
2
小结 将数用形来体现,直接得到a,b,c的关系,这无疑是解决数学问题最好的一种方法,也是重要的解题途径.
x2y2
例2 如图,F1,F2分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( ▲ ) A.3 C.5 2
B.5
D.1+3
从以上四种求圆锥曲线离心率的范围的策略来看,我们要明确求离心率的范围的关键是建立一个
a,b,c的不等关系,然后利用椭圆与双曲线中a2,b2,c2的默认关系以及本身离心率的限制范围,最
终求出离心率的范围.
【高考题回顾】
x2y21. 已知双曲线C1:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点在原点,准线与双
ab曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2F1F2,则双曲线C1的离心率为( )
A.2
B.3
C.23 32
D.22 a2解:由已知可得抛物线的准线为直线xc4a2,∴ 方程为yx;
cb2b224a2b222由双曲线可知P(c,),∴ ()c,∴ b2a22,∴ e212,e3.
aacax2y22.椭圆221(ab0)的两个焦点分别为F、F2,以F1、F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分三
ab角形的另两边,则椭圆的离心率e为 ( B )
A.
3132 B.31 C.4(23) D. 24yP解析:设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点,如图, 由平面几何知识可得|PF2所以由椭圆的定义及e|:|PF1|:|F1F2|1:3:2,
F1OF2xc得: ae|F1F2|2c231,故选B. 2a|PF1||PF2|31 3
变式提醒:如果将椭圆改为双曲线,其它条件不变,不难得出离心率e31.
x2y23. 过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分
ab1别为B,C.若ABBC,则双曲线的离心率是 ( )
2A.2 B.3 C.5 D.10 【解析】对于
Aa,0,则直线方程为
xya0,直线与两渐近线的交点为B,C,
aba2aba2ab2a2b2a2babB,,C(,)BC(,),AB,,, 2222abababababababab22因此2ABBC,4ab,e5.答案:C
4. (09
x2y2江西理)过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若
ab22 B.F1PF260,则椭圆的离心率为( ) A.311 C. D. 323b23b2c3【解析】因为P(c,,故选B ),再由F1PF260有2a,从而可得eaaa3x2y25.已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得
abPF13PF2,则双曲线的离心率e的取值范围为 .
(答案:1e解析:由
2)
及双曲线第一定义
PF13PF2式|PF1||PF2|2a,得:
|PF1|3a,|PF2|a,又|F1F2|2c.
因为点P在右支上运动,所以|PF1||PF2得4a||F1F2|,
2c,即
c2,又e1,故填1e2. a
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