二阶常系数线性微分方程的一阶线性求法-文档资料

二阶常系数线性齐次微分方程的求解，现行高等数学教材一般都采用猜测、验证的方式给出其通解.对此，有不少学生虽承认但仍心存质疑；二阶常系数线性非齐次微分方程的求解，一般都根据自由项f(x)的形式特点，采用待定系数法，设出其特解形式，而后代入原方程求解，其设解结论的依据――常数变易法推导也是采用猜测、验证的思路，同样也不被一些学生认同.此外，待定系数法求二阶常系数线性非齐次微分方程特解时，现行高等数学教材虽然都给出了特解的对应设法，但这种方法也存在一些局限性：第一，设解时形式多样，初学者不易掌握；第二，代入求解过程比较繁琐、复杂；第三，当f(x)为生疏的函数时不知如何下手.其实，以上疑惑和问题，一方面需要教师耐心解释，另一方面也可以通过将二阶常系数线性微分方程稍加变形，转换成一阶线性微分方程来解决，这样既容易理解，又便于求解. 1.二阶常系数线性齐次微分方程的一阶线性求法 首先变形y″+py′+qy=0为(y′+my)′+n(y′+my)=0. 易知m+n=p，mn=q,即m,n是r2-pr+q=0的两个根. 由于方程r2-pr+q=0与r2+pr+q=0二者的根关于原点对称，因此定义r2-pr+q=0是特征方程r2+pr+q=0的对称方程，并令m=-r1，n=-r2，则原方程为(y′-r1y)′-r2(y′-r1y)=0. ∴y′-r1y=cer2x，

∴y=er1x(?А要?c1er2x•e-r1xdx+c2)， ∴y=c1er1x+c2er2x(r1≠r2)，(c1+c2x)erx(r1=r2). 2.二阶常系数线性非齐次微分方程特解的一阶线性求法 对于二阶常系数线性非齐次微分方程，关键是求方程的特解，同上法可得y″+py′+qy=f(x)的一个特解为

y*=e-mx?А要?xc0e(m-n)x(?А要?xc0f(x)enxdx)dx， 或y*=er1x?А要?xc0e(r2-r1)x(?А要?xc0f(x)e-r2xdx)dx.

其中?А要?xc0f(x)dx表示f(x)的一个不含独立常数项的原函数.m，n是对称方程r2-pr+q=0的两个根，容易验证当m，n（或r1，r2）为相等、不等实根或虚根时，公式都成立.因此，在求解二阶常系数线性非齐次微分方程的特解时，不妨直接应用公式，现举例如下：

例1 求微分方程y″+y′=2cosx的一个特解. 解 特征方程r2+r=0的特征根为r1=-1，r2=0，

则?А要?xc0f(x)e-r2xdx=?А要?xc02cosxe0dx=2sinx， ?А要?xc0e(r2-r1)x(?А要?xc0f(x)e-r2xdx)dx=?А要?xc02exsinxdx=ex(sinx-cosx)，

∴所求特解为y*=e-x•ex(sinx-cosx)=sinx-cosx. 例2 求微分方程y″-3y′+2y=4x的一个特解. 解 特征方程r2-3r+2r=0的特征根为r1=1，r2=2， 则?А要?xc0f(x)e-r2xdx=?А

要?xc04xe-2xdx=4xe-2x2(ln2-1)，

?А要?xc0e(r2-r1)x(?А要?xc0f(x)e-r2xdx)dx =?А要?xc0ex4xe-2x2(ln2-1)dx =4xe-x2(ln2-1)(2ln2-1)， ∴所求特解为

y*=ex•4xe-x2(ln2-1)(2ln2-1)=4x2(ln2-1)(2ln2-1). 3.一点补充

二阶常系数线性非齐次微分方程特解的一阶线性求法也有一定的局限性，即当特征方程为虚根时，需要用复积分知识去解决，且比较麻烦，因此发生这种情况时，还是回归到待定系数法解决较好一些.本方法的意义一方面是提供一种解题的方法，更重要的方面是解除学生心中之疑惑，促进学生对课本方法的理解.另外，笔者在教学中还经常遇到对一阶线性非齐次微分方程的常数变易法、积分因子法的质疑，此时不妨从全微分法的角度揭示，也能收到良好的效果.