初中几何中巧用“隐圆”解决线段长度最小值问题

４０　中学数学研究　２０１８年第９期（下）　初中几何中巧用“隐圆＂解决线段长度最小值问题　广东省深圳市宝安区官田学校（５１８１０８）　李佳新　空间观念、几何直观、推理能力是初中数学中的核心素　结Ａ点和圆心交半圆于点Ｐ，则此时ＡＰ距离最小　解找到ＢＣ的中点Ｅ，连接ＡＥ，　交半圆于Ｐ２，在半圆上取Ｐ１，连接　养．引导学生运用多种方法探索图形的性质和特点，从而提　高学生的思维能力和推理能力是我们在初中几何教学中要　把握的重点．作为平面几何中最值问题是最能有效发展学生　的几何直观和推理能力的重要知识，在近几年中考中也是比　较热门的考题，因为它能培养学生动态思维的能力．对于动　态问题，如果我们能化动为静，那么解决问题就方便很多，也　易于求解．考虑到有些元素在运动的过程中能形成特殊的图　形，根据特殊图形的性质，我们可以很方便解决问题．本文试　图探讨圆外一点到圆的最小值来解决有关求线段长度最小　值问题．　一、引例　圆外一点到圆的距离定义：圆外一点到圆上任一点线段　的长度，叫圆外一点到圆的距离．（如图１）由于Ａ是圆上任意　一点，故Ｐ到圆的距离有无数个，其中必然有一个最大距离，　也有一个最小距离．如图２，经过点Ｐ与点０作直线Ｐ０，交　００于　、Ｂ两点，显然ＰＡ是点Ｐ到００的最大距离，ＰＢ　是点Ｐ到００的最小距离．也就是说，如果圆外有一个定点　Ｐ，圆上有一个动点Ｍ，则当点Ｍ运动到Ｂ点时，ＰＭ最小，　当Ｍ运动　点时ＰＭ最大．利用这个原理，我们可以用它　来解决几何中线段最大值或最小值问题，本文仅讨论利用圆　（或隐圆）解决线段长最短问题，即几何中线段最小值问题．　图１　图２　二、“显圆”中求最小值　题中直接出现了圆，而且点就在圆上运动，那么就可直　接利用上述引例的方法解答问题．　例１（２０１４秋集美区校级期末）如　图３，在ＲｔＡＡＢＣ中，／ＡＣＢ＝９０。，　ＡＣ＝ＢＣ＝２，以ＢＣ为直径的半圆　交ＡＢ于Ｄ，Ｐ是弧ＣＤ上的一个动　点，连接ＡＰ，求ＡＰ的最小值．　图３　分析由于点Ｐ在半圆上运动，根据上述引例可知，连　４只，，　尸１，可见，Ａｐ１＋Ｅ尸１＞ＡＥ，　即Ａ尸２是ＡＰ的最小值，因为ＡＥ：　＝　＝，　１，所以　图４　ＡＰ２＝　一１．　点拔本题由于有网存在，点Ｐ又在网上运动，所以很　容易找到当点Ｐ在　的位置时，ＡＰ最小．　在有些问题中，圆并没有画Ｉ叶『来，而是需要我们去判断　元素运动时形成的特殊图形——网，从而转化为点到圆的距　离的知识解决问题．　三、“隐圆”中求最小值　“圆”去哪儿了？观察下列图形：　图５　图６　你能看　图形中存在的“隐圆”吗？易知：图５中，点ｃ　在以ＡＢ为直径的圆上．图６和图７中，点Ｂ、Ｄ都在以ＡＣ　为直径的圆上．这里的圆都是“隐”藏的，需要我们自己去分　析，去寻找，去发现，才能用圆的知识解决问题．　例２　ｆ２０１５自贡）如图８，在矩　形ＡＢ　Ｄ中，Ａ日＝４，　Ｄ＝６　Ｅ　是Ａ日边的中点，Ｆ是线段ＢＣ边　上的动点，将△ＥＢＦ沿ＥＦ所在直　线折叠得到ＡＥＢ　Ｆ，连接Ｂ　Ｄ，则　图８　曰　Ｄ的最小值是（）　Ａ．２、／，而一２　Ｂ．６　Ｃ．２￣厂而一２　Ｄ．４　点拔Ｂ　总是在以Ｅ为圆心　ＥＢ为半径的圆上运动，故利用　点到圆的距离可求　的最小　值．当点Ｄ、Ｂ　、Ｅ三点在同一直　图９　线上时，ＤＢ　ｉ　＝ＤＥ—ＥＢ　＝　２、／１０—２．故选Ａ．　２０１８年第９期（下）　变式训练　例ｌ如图１０，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ中，　中学数学研究　４１　接ＢＥ交ＡＧ于点日．若正方形的边长为２，则线段ＤＨ长　＝６０。．　度的最小　是ＡＤ边的中点，Ⅳ是ＡＢ边上一动点，将△ＡＭⅣ沿　Ⅳ所在的直线翻折得到△　ＭⅣ，连接　Ｃ．则Ａ　Ｃ长　度的最小值是．　——Ｃ　图１０　图ｌ１　解如图１１，连接ＣＭ，过Ｍ点作ＭＨ＿ｋＣＤ交　ＣＤ的延长线于点Ｈ，则由已知可得，在Ｒｔ￣ＤＨＭ中，　ＤＭ＝１，ＺＨＤＭ＝６０。，所以ＨＤ＝　，口Ｍ＝　，所　以ＨＣ＝２＋　：　，所以ＭＣ＝　而　丽＝　＼为圆心，ＭＡ为半径的圆上，故当Ｃ、Ａ　、Ｍ／（　）　＋（　）。＝　．又因　定在以Ｍ在同一直　　线上时Ａ　Ｃ长度的最小，此时　Ｍ＝ＡＭ＝ｌ，所以　Ａ　Ｃ＝ＮＣ—Ｍ　＝、，　一１，所以Ａ　Ｃ长度的最小值是　一１．　例２（２０１６陕西）如图１２，　在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＡＢＣ＝　６０。，ＡＢ＝２，点Ｐ是这个菱形　内部或边上的一点，若以点Ｐ、　Ｂ、　为顶点的三角形是等腰三角形，则Ｐ、Ｄ（Ｐ、Ｄ两点不　重合）两点间的最短距离为——．　分析ＡＰｔ３Ｃ构成等腰三角形有三种可能．　（１）ＰＢ＝ＰＣ，（２）ＰＣ＝ＢＣ，（３）ＰＢ＝ＢＣ．　分别对应如下三个图形：　。　一，　、ｌ　、　，一　图１３．１　图１３—２　图１３－３　（１）当ＰＢ＝ＰＣ时，此时点Ｐ在ＡＢ边上．　（２）当ＰＣ＝ＢＣ时，此时点Ｐ与点Ｄ重合，不合题意　（３）当ＰＢ＝ＢＣ时，点Ｐ在以Ｂ为圆心，ＢＣ为半径的　圆上，所以当Ｄ、Ｐ、Ｂ三点在同一直线上时ＰＤ最短．　对比三种情况，显然只有当ＰＢ＝ＢＣ时，ＰＤｍ｛ｎ＝　２　一２．　例３（２０１３武汉）如图１４，Ｅ，Ｆ是正方形ＡＢＣＤ的边　ＡＤ上两个动点，满足ＡＥ＝ＤＦ．连接ＣＦ交ＢＤ于Ｇ，连　图１４　图ｌ５　分析此题动点很多，除了正方形顶点不动外，其它点都　是动点，感觉无从下手．仔细分析发现ＺＡＨＢ＝９０。，可知　点日在以ＡＢ为直径的圆上，故找到存在的“隐圆”，如图所　示，取ＡＢ中点０，连结ＯＤ交ｏ０于　，则此时Ｄ日最小，　最小值：、／／５—１．如果找不到点日运动的规律，那么此题就　感觉非常困难，所以在有关动点的题中，要抓住关键点运动　的轨迹是一个什么的图形，因为此题要求的是Ｄ日的最小　值，Ｄ点是定点，只有日是动点，所以只要找到Ｈ点运动的　轨迹就好办了．　变式训练　一　一一～　捌　一ｃ　一一　￡　一　一一　脚一一一　点Ｑ从点Ｃ出发，沿线段ＣＤ向点　Ｄ运动，当ＰＡ的长度最小时，ＣＱ的长为（）　Ａ．３　一３　Ｂ．３一　ｃ．　Ｄ．３　（点拔：折叠时点Ｃ在以Ｅ为圆心，ＥＣ长为半径的圆上　运动，当Ｅ、Ｐ、Ａ三点在同一直线上时，ＰＡ最短，可画出此　时图形，就可求ＣＱ，故选Ａ）　３、如图１８，ＡＡＢＣ是边长为２　的等边三角形，Ｄ是边ＢＣ上的动　点，ＢＥｊ＿ＡＤ于Ｅ，则ＣＥ的最小值　　２４　中学数学研究　２０１８年第９期（下）　农村初中数学教师要转变教学观念，重点培养待优生，争取　使他们在基础水平上得到新的提升．　笔者在教学过程中经常向学生介绍一些中外历史上杰　３、利用课外时间，深入辅导待优生　提高待优生的课堂参与性不是一朝一夕就能完成的事　情，数学教师必须端正他们的学习态度，传授他们正确的学　习方法，同时还要利用课外时间对他们进行深入辅导，方能　让他们体会到教师对他们的关心和爱护，从而积极主动地投　入到教学中．　出的、优秀的人物事迹，比如陈景润、华罗庚等数学家艰苦奋　斗、锐意进取、为国争光的故事，以此激发待优生学习数学的　热情和兴趣．同时，笔者还经常去学生家中，尤其是待优生家　中做家访，争取学生家长的支持，让家长为自己的孩子创设　一对于我们班的数学待优生，一方面笔者尽量使其转变学　习态度，通过谈话掌握他们的思想动向，了解他们的生活难　处和学习难处，并加强与家长的沟通与交流，齐抓共管，力争　个良好的学习氛围，鼓励家长也树立起“知识就是力量”的　信念．得到了教师和家长的共同关注，待优生必然会以全新　的面貌投入到数学学习过程中，在课堂上不再打瞌睡、开小　差，学习成绩得到稳步提升．　２、改进教学方法，培养待优生信心　在新课程理念下，待优生应该是农村数学教师重点培养　改变他们学习懒散、怠惰的现象，使他们意识到学习的重要　性．另一方面，笔者积极向待优生传授正确学习数学知识的　方法，利用课外时间为他们补习数学基础知识．待优生的学　习之所以落后，学习基础不扎实，无法将新旧知识有机联系　在一起是主要原因．所以笔者经常在课余时间为他们补课，　从基础知识开始，由易到难、由浅入深地将数学知识传授给　的对象．由于初中数学多为抽象、枯燥的知识，待优生学习起　来比较困难，所以教师要采取新型的教学方法，培养待优生　的学习自信心，促使他们主动参与课堂教学．笔者在开展数　他们，指导他们如何理解数学定理和公式，使他们尽快从盲　目地学习转向科学地学习．鉴于农村学校信息资源不多的现　状，笔者还经常为待优生补充额外的数学知识，开拓他们的　学教学时，非常注重争取待优生的课堂参与性，笔者尽量将　教材上的知识转变为形象生动的问题，让待优生在实践中获　取知识．比如笔者在教学《轴对称》这部分内容时，教材中对　轴对称的定义是：把某个图形沿着某一条直线对折后两部分　能够完全重合，则称这两个图形成轴对称．对待优生而言，这　眼界，提升他们的综合素质．　四、结束语　提高农村初中待优生参与数学课堂的积极性与主动性　是一项复杂而又系统的工作，数学教师要厘清造成待优生的　原因，对症下药，通过激发意志和动机，培养他们实事求是的　科学态度和独立思考的精神，尽量减少班级中的两极分化现　象，以此促进农村初中数学教学质量的持续提升！　参考文献　［１］杨贺娟．数学后进生的教与学［Ｊ］．黑龙江科技信息．２００８年２４期．　［２］林鸿星．浅谈后进生的成因及转化对策［Ｊ］＿江西青年职业学院学　报２０１０年０４期．　个定义比较抽象、深奥，为了让他们理解这个定义，笔者在教　学时将双手张开，掌心面向学生，一边合拢双手，一边问学生：　“你们看，这时候老师的双手成轴对称吗？”然后笔者让班上　的几个待优生站起来回答笔者的问题，这种形象直观的教学　方式能够激发待优生的学习兴趣．为了巩固他们的知识，笔　者还指着教室前后门的两朵风窗让学生自己观察，能否在墙　上找到一条直线沿这条直线翻折后让两朵风窗完全重合．这　种教学方式能够让待优生身临其境地获取数学知识，让他们　联系生活经验投入到学习过程中，教学效果事半功倍．　［３］谭翰举．曹白雪．农村初中学生不良行为习惯的成因嗍．才智２０１１　年Ｏ２期．　（上接第４１页）　４、如图ｌ９，在ＡＡＢＣ中，　Ｃ　生关注动点的本质．哲学告诉我们，运动是绝对的，静止是相　对的，要告诉学生遇有动态的问题不要怕，要分析动点在运　动过程中哪些是在变？哪些是没有变？变的是否有规律？从　／ＡＣＢ＝９０。．ＡＣ＝１２．ＡＢ＝　１Ｏ，Ｄ是ＡＣ上的一个动点，以　ＡＤ为直径的圆０交ＢＤ于Ｅ，　图ｌ９　而化动为静，探索规律．在上述例子中，我们发现虽然在有些　题中动点很多，但在求线段最小值时，发现线段的两个端点　则线段ｃＥ的最小值是．　——中只有一个点是动的，另一个点是静止的，它就启发我们那　个运动的点肯定是具有某种特殊性质，能想到这一点，问题　就好解决了．所以培养学生的思维能力要立足于具体问题的　（点拔：易知ＬＡＥＢ＝９０。，故点Ｅ在以ＡＢ为直径的　圆上运动，只需取ＡＢ中点Ｆ，连结ＣＦ交ＱＦ于点Ｅ，当点　Ｆ、Ｅ、Ｃ在同一直线上时．则ＣＥ就是最小的．）　引导与分析，让学生体会探讨问题的自然生成过程，从而真　正理解并能形成能力．　动点问题是很多学生感觉困惑的问题，教学中要引导学