第一节合情推理与演绎推理
题型143归纳推理
2013 年 1. (2013陕西文13)观察下列等式：
(1 +1 ) = 2X 1
2
(2+1 X2+2 ) = 22 X1X 3
3
(3 十 1X3+2X3+3) = 2 X1X 3X 5
照此规律，第n个等式可为 .
2014 年
1. （2014 陕西文 14）已知 f （x） = ± , x 0 , f〔（x）=f （x）, fn+1（x）= f （ fn（x））
（nw N+ ）, 则f2014（x）的表达式为 .
2.
（2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形 ABC中，斜边BC = 2 J2 ,过点A作BC 的垂线，垂
足为 A；过点A作AC的垂线，垂足为 A2；过点 A作AC的垂线，垂足为 A；…， 以此类推，设
BA=a, AA=&, AA = a3,A5A5 = a?，则 a^ —.
2015 年
1. （2015陕西文16）观察下列等式:
1 . 1
!
1 . 1
■ I
1 _ 1 . 1 . 1
I
I
23456456
据此规律，第 叶等式可为 .
1. 解析 观察等式知，第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且
„ , …一 .................. ... ........... ... 1 1
n 1 n 2 2n
1
分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是 —+二.
............. 1 1 1 1 1 1 1 1 *
故谷案为1克 § -膏 山 ---------- -- —= ----- - ---- m — n N .
2. (2015 江苏 23)已知集合 X={1,2,3, Yn = {1,2,3,…,n}(nw N *),
设Sn={(a,bja整除b或b整除a, a^X,b在匕},令f(n)a示集合$所含元素的个数.
(1)写出f (6)的值；
(2)当n-6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 2.
分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质.
i 7 共k组 0 回 E4 [3 加 国 回 5 11 17 … i [12 13 … 15 … E6 [18 … … … 第 k+1 组 6k+1 6k +2 |6k +3 6k+4 6k +5 |6k +6 带L标记的表示为3的倍数或约数(其实1是奇葩，其余的都是 3的倍数)，带口标记的表 示为2的倍数或约数，而 口则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数(即为 6的倍数或 约数，此题不作研究). *
N样研允n =6k (k* N )时，可直接得：
f (n ) = (6k ) + (3k +1 ) + (2k +1 )=11k + 2 ,
*
当n =6k +3 (ku N )时，可直接得：
f(n) = (6k+3) + (3k+1+1) + (2k+1+1)=11k + 7.
这就是本题的本质，以 6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究.
解析 (1)当 n =6 时，X ={1,2,3 }, Yn =，,2,3 ,4,5,6 },
(a,b 河取(1,1 ), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), (1,5), (1,6 ), (2,1 ), (2,2 ), (2,4),
(2,6 ), (3,1 ), (3,3 ), (3,6 )，共 13个，故 f (6)=13 .
11k 2, n =6k 11k 3,
(2)当 nr6时,
n =6k 1 =6k =6k n =6k 4
)，
f (n )= «
11k 5, 11k 7, 11k+9,
、11k 十 n = 6k 5
证明：俨当k=1时，枚举可得f (6)=13,
f 7 = 14 , f 8 = 16 , f 9 = 18 ,
f (10 )=20 , f (11 ) = 21 ,符合通式;
2。假设k =t时，成立，即
'11t + 2,
n =6t
11t 十3,
11t +5, f n = n = 6t 1 7 11t 十 7,
=6t 2
11t + 9, 、11t +10, =6t 3
n = 6t 4 n = 6t 5
)成立,
则当k =t +1时，此时n =6t+6，此时f (n +6 )比f (n )多出有序数对11个, 即多出(1,6t+1 ), (1,6t+2 ), (1,6t+3 ), (1,6t+4), (1,6t+5 ), (1,6t+6 ), (2,6t+2), (2,6t+4 ), (2,6t+6 ), (3,6t+3 ), (3,6t+6), 从而 f (n +6 )= f (n )十 11 =11(t +1 ) + 2 ,符合通式；
另外，当 n=6t 十 7 , n=6t+8 , n=6t+9 , n=6t+10 , n=6t+11,同理可证,
11 t 1 2, 11 t 1 3,
综上，即
n = 6t 6 n = 6t 7 =6t 8 =6t 9 n =6t 10
f (n +6)=
I 11 t 1 5, 11 t 1 7,
11 t 1 9, 11 t 1
),
10, n = 6t 11
n -1 6
11n 7 6
即当k =t +1时也成立. n -1
例如 n =6k +1 时，k = ------- ，贝U f (n ) = 11k + 3 =11 x ---- +3 = --------- ,
6
11n 12
6 11n 7
6^ 11n 8
综上所述:
n =6k n = 6k 1 n =6k 2
*
f (n )= <
6
，
11n 9 11n 5 6
(3 N ).
n =6k 3 n = 6k 4
2016 年
1. (2016山东文12)观察下列等式：
,. 兀、_2 , / . 2 兀、_2 4 」 八
(sin—) +(sin——)
3
3
=-=<1x2； 3
4 3 6兀2 7
… (sin 宣)4 5 -
9
3' 4 3
/• 兀、2工/ • 2兀_2 j • 3兀2工/. 4兀2
(sin ) (sin——) (sin——) (sin——) =一 2 3；
5
兀2
5 2兀 2 7 9
5 3兀2 7 9
5
(sin ) (sin——)
7 9
照此规律,
、_2土/ .
-(sin——) 一 --(sin ) =_ 3 4；
(sin —) 2 (sin 2^) / (sin ■^)二
2
兀、一2土/ •
3
兀、~2 土 心/ • 兀、_2
2n
一 兀 (sin ) (sin ---------- ) (sin ---------- ) (sin --------------- )
----------
2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
4 3 4
,
十
1. 4 x n ^(n +1)解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是
3
是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是
—,接下来
n(n+1),所以第n个等式右边是
题型144类比推理一一暂无 题型145演绎推理一一隐含在好多题目的证明过程中 补充题型逻辑推理
2014 年 1. (2014新课标I文14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A , B, C三个城市时,
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B城市；
乙说：我没去过 C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为
2017 年 1. （2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.
老师说：你
们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看 后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则（
A .乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩
）.
B. 丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果
则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果 .故选D.
第二节证明
题型146 综合法与分析法证明
2015 年
1. （2015全国II文24）选修4-5:不等式选讲
设a, b, C, d均为正数，且a+b = c + d.证明：
（1） （2）
若 ab a cd，贝U r/T + >Jb
ja +Jb》JC+Jd是 |a —b < c—d| 的充要条件.
>/d ；
1.分析（1）由 a+b = c+d，及 ab》cd ，可证明（JT +Jf ） >（ JC + JF ja + Jb》jc + Jd ; （2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充 分性和必要性.
解析 (1)因为(\\/^ +后)=a +b + 270^ , (Vc + 布)=c + d +2VcJ ,
__2
__2
____
,两边开 方即得
由题设a+b=c+d , ab〉cd ,得（石+ Jb）》（据+布），因此 月+屯》去+布. (2) (i)若 a—b 于是(a —b f =(a +b )2 —4ab <(c +d f —4cd = (c —d )2,因此 a — b < c — d . 综上， 扼+布^店+沈是a—b ^ .充要条件的证明体现了数学 2016 年 1. ( 2016 四川文 18 (1)) 在△ ABC中，角A , B , C所对的边分别是 a , b , c ,且 cos A cosB sinC ------ + ------- = ------- .证明： 1.解析 根据正弦定理，可设 sin Asin B = sinC . a sin A b sin B cos A c sin C cosB sin C =k(k >0)，贝U a = ksin A, b = ksin B , c = ksin C . cos A cos B sin C 代入 ------ ---- 中，有 a b 可变形得 sin Asin B = sin AcosB+sin BcosA=sin(A B). 在△ ABC 中，由 A + B+ C =兀，有 sin(A + B )=sin (兀一 C》sinC，所以 sin Asin B = sinC. 2. (2016浙江文16(1))在^ABC中，内角 A , B , C所对的边分别为 a , b , c.已知 b c = 2acosB. c ksin A ksin B ksin C 证明：A=2B. 2.解析 (1)由正弦定理得 sin B+sin C =2sin AcosB , 故 2sin AcosB =sin B +sin( A + B) =sin B +sin AcosB +cosAsin B ,