双周期Riemann边值问题解法的注记

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第２期　合肥工业大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．２　２００５年２月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＥＦＥＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｆｅｂ．２００５　双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题解法的注记　房厚庆　１，２　＇　方小春　，　丁　娟　（１．江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３；２．同济大学应用数学系，上海２０００９２）　摘要：解析函数的边值问题是复变函数论的一个重要分支，许多工程技术中的力学物理问题可转化为此类　问题，因此它有着广泛的应用价值。路见可教授已研究了双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题，其求解的关键是构造所谓　的典则函数，而且还把一些实际问题归结为双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题。为了使双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题理论　更加完备，文章主要给出双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题的补充性讨论。　关键词：双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题；广义自由度；指标　中图分类号：０１７５．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—５０６０（２００５）０２—０２０９—０３　Ａ　ｒｅｍａｒｋ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｄｏｕｂｌｙ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ＦＡＮＧ　Ｈｏｕ—ｑｉｎｇ　・。　ＦＡＮＧ　Ｘｉａｏ—ｃｈｕｎ。。　ＤＩＮＧ　Ｊｕａｎ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ　２１２０１３，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐｔ．ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｎｙ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｂｒａｎｃｈ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ＳＯ　ｉｔ　ｉｓ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｓｕｃｈ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｏｕｂｌｙ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ，　Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ　Ｌｕ　Ｊｉａｎｋｅ　ｈａｓ　ｍａｄｅ　ｓｏｍｅ　ｓｔｕｄｉｅｓ，ｓｏｍｅ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ａｓ　ｓｕｃｈ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｂｙ　ｈｉｍ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｋｅｙ　ｔｏ　ｆｉｎｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｏ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ＳＯ—ｃａｌｌｅｄ　ｃａｎｏｎｉｃａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．　Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｍａｋｅ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｄｏｕｂｌｙ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｐｅｒｆｅｃｔ，ａ　ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｙ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ；　ｉｎｄｅｘ　因为一些实际问　题可以归结为双周期　（ｆ）一Ｇ（ｆ）　一（ｆ）＋ｇ（ｆ），ｔ∈Ｌ　（１）　Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题　～　，　所以此类问题的研究非　其相应条件与要求见文献［６］。不失一般性，设坐　常重要。一般双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题的提法及　标原点。在基本胞腔Ｐ。内部（后面不再说明），该　解法见文献［６］。所谓双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题　问题指标为　，作二阶椭圆函数　（简称ＤＲｍ问题）是求一个在　—０处至多有ｍ阶　一　的双周期分区全纯函数　（ｚ），以Ｌ为跳跃曲线且　满足　令ｇ　（ｆ）＝ｇ（ｔ）ｌｚ一（ｆ），　收稿日期：２００４—０６—０４　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０２７１０９０）　作者简介：房厚庆（１９７３一），男，安徽安庆人，硕士生，江苏大学讲师；　方小春（１９６６一），男，安徽安庆人，同济大学教授，博士生导师　维普资讯 http://www.cqvip.com ２１０　合肥工业大学学报（自然科学版）　第２８卷　Ｇ．（￡）：：Ｇ（￡）　一　（　），司　．：：ｌ【　‘ｐ　一　（　），　∈　・ｓ＋，　（　），　∈Ｓ一　则（１）式变为　：（￡）一Ｇ．（￡）　（￡）＋ｇ．（￡），ｔ∈Ｌ（２）　｛ｏ）与Ｌ。无交。记　一｛口：ｌ口ｌ＜ｒ）＼｛ｏ），则　ｎＬ　一　。记Ｓ　：｛（１＋ａ）Ｇ。：Ｖ　ａＥＳ），显然　是一开　集。假设对Ｖ　ａＥＳ，均有（１＋口）Ｇ．∈Ｌ成立，则　Ｖ　∈Ｓ　，存在常数Ｒ。使Ｒ≤Ｒ。时，以　为圆心，Ｒ　为半径的圆含于　当中，亦即该圆与Ｌ有无穷多　个交点，这与引理１相矛盾。引理得证。　令Ｘ．（　）一ｅ　ｒ　其中ｒ（　）一　Ｊ　ｌｏｇ　Ｇ．（￡）×　（￡－Ｚ）ｄｔ，　Ｌ。　则Ｘ．（　）是以ｅ－％。・（　一１，２）为乘数的乘法双准　周期解析函数。作双准周期椭圆函数　）＝　１　ｒ　其中Ｇ。一　ｏｇ　Ｇ．（ｔ）ｄｔ。　令Ｘ　（　）一ｈ（　）ｘ．（　），于是（２）式化为等　价的跳跃问题　：（￡）　（ｆ）．ｇ。（￡）　ｘ　（￡）　Ｘ　（￡）‘ｘ　（￡）　当Ｇ．　Ｌ时，文献［６］进行了详细讨论，但未　对Ｇ。∈Ｌ情况进行讨论。文章将通过构造新的双　准周期函数ｈ（　）对Ｇ．∈Ｌ的情况进行讨论。　１结果及两个重要引理　路见可教授给出了广义自由度的定义，即一　般解中任意常数的个数减去可解条件的个数。　定理ＤＲｍ问题的广义自由度为　＋ｍ。　由文献［６］知，当Ｇ。　Ｌ时，该定理是成立　的；实质上，Ｇ。∈Ｌ时，该定理仍然成立。　引理１设Ｌｌ（　—ｏ，１，２，…）是Ｌ中任一简单　封闭光滑曲线，存在一个不依赖于ｔ在厶上位置　的正数Ｒ。，以Ｌｌ上任意点为圆心，Ｒ≤Ｒ。为半径　的圆与Ｌ只有２个交点。　证明　不妨设Ｌ　：Ｌ。（Ｌ。为基本胞腔Ｐ。中简　单光滑封闭曲线），存在与Ｌ。上与任意点ｔ无关的　常数Ｒ　，使得以ｔ为圆心，Ｒ≤Ｒ　为半径的圆与Ｌ。　只有２个交点　Ｊ。Ｌｎ到基本胞腔Ｐ。边界距离记为　ｄ（Ｌ。，０１＂。）。取Ｒ。＝ｍｉｎ（Ｒ１，ｄ（Ｌ。，０１＂。）），则Ｒ。就　符合要求。　引理２设Ｇ．∈Ｌ，则存在复数口使得ａＧ．　Ｌ，（１＋ａ）Ｇ．各Ｌ。　证明　只就Ｇ．在Ｌｎ上进行证明，由于Ｇ．在　厶（　Ｏ）上的证明与在Ｌ。上的证明没有本质区　别。既然ｏ∈　，则存在ｒ＞０使得｛口：ｌ口ｌ＜ｒ）＼　２进一步讨论　作乘法双准周期椭圆函数　（　）为　一　【　＋烈，Ｊ　㈤’　　其中口按照引理２的要求进行选取。易知ｈ（　＋　２　）一＾（　）ｅ。　。・（ｊ；一１，２）。以下将分３种情况讨　论ＤＲｍ问题解。　（１）关于一　．￣０（ｍｏｄ　２　１，２　２）。　设一（１＋口）Ｇ．三Ｇ。（ｍｏｄ２￣１，２　２），Ｇ。在基　本胞腔Ｐ。中，则Ｇ。≠Ｏ。否则，由Ｇ．一（１＋口）Ｇ．一　ａＧ．知Ｇ。三Ｏ（ｍｏｄ　２ａＪ１，２　２），而Ｏ∈Ｓｏ＋，因此与Ｇ．　ＹｆＺ￣ＥＬ＿］２，结果矛盾。而Ｆ（　）：　筹在　一。有　ｘ－Ｊ－ｍ－－１阶，在Ｇ。处有１阶。　对于　＋　—Ｉ＞０，其解可写为　（　）一　（￡一　）＋　（　）］ｄ￡＋ｘ　（　）　．　［Ｃ。＋∑ｃ　∞（　）＋ｃ什　一　（　一Ｇｏ）］　其中，Ｃ。，Ｃ　一，Ｃ外　一　为任意常数。　于是ＤＲｍ问题中（１）式的一般解为　）一　陬　一　）＋　）］ｄ　∑Ｃ　（　）＋Ｃ～一　（　一Ｇ。））　一　如果ｘｑ－ｍ－－１—０，当且仅当满足　刍　Ｘ　２　ＪＬ　（￡）…　。　㈤　条件时，问题一般解为　）＝　一　蚪　Ｃ。＋Ｃ１　（　一Ｇ。））　（５）　其中，Ｃ　，Ｃ　为任意常数。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　房厚庆，等：双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题解法的注记　２１１　＋ｃ。＋ｃ　一Ｇｏ）一。　即ｃ。一　Ｊ　。　）ｄｔ－Ｃ：　一Ｇｏ）。　于是ＤＲｍ问题一般解可写为　）一　）｛　［　一　）一　手（ｆ）］ｄｆ＋ｃ［　（　—Ｇ。）一　（Ｇ。）］）　（６）　其中，Ｃ为任意常数。　如果　＋ｍ一１一一２，当且仅当满足（４）式，　ＤＲｍ问题一般解可写为　●　一　卜　一　㈩　如果　＋　一１＜一２时，除满足（４）式外，还需　满足　［　＋　。　（忌一０，１，…，　＋　一２）　此时其一般解仍可写为（７）式　从讨论过程看，显然ＤＲｍ问题中（１）式的广　义自由度为　＋ｍ。　附注１　ｈ（　）还可有其它形式，若出于Ｆ（　）　一　极点与零点个数尽可能少考虑，可以构　造双准周期椭圆函数为　）一　丽（８）　其中，口仍按引理２要求选取。＾（　）还可有其它形　式构造，只要满足条件ｈ（　＋　）一ｅ。　。－ｈ（　）及　ｈ（　）所有零点和极点不在Ｌ上即可，例如　）一　高　譬　其中　）同前面一样。文献［６］只是给出＾（　）一　种极为简单的构造形式。　（２）　关于一（１＋口）Ｇ　三０（ｏｒｏｄ　２∞ｌ，２∞２）　同情况（１）中道理一样可知，一ａＧ　三Ｇ　（ｏｒｏｄ　２∞　，２∞。），Ｇ　为一ａＧ．在基本胞腔Ｐ。中的　合同点，￣ＪＩＧ１≠。。Ｆ（　）一　舅在　一。有　＋　＋　１阶，在Ｇ　处为一１阶。此时Ｆ（　）极点（一个）、零　点（一个）已极为简单。其讨论同情况（１）中一样进　行。并且从讨论过程不难看出ＤＲｍ问题中（１）式　的广义自由度仍为　＋　。若构造其它形式ｈ（ｚ）例　如（８）式，将有较多零点与极点，讨论起来就繁杂　些，但所得ＤＲｍ问题的广义自由度仍为　＋ｍ。　（３）关于一ａＧ．三Ｇ】（ｒｏｏｄ　２ｗ】，２　），　一（１＋口）Ｇ　三Ｇ．（ｒｏｏｄ　２∞】，２　）。　Ｇ　，Ｇ　均为基本胞腔Ｐ。中的点，且Ｇ　≠０，　Ｇ２≠０，则Ｇｌ≠Ｇ２。否则Ｇ　三０（ｏｒｏｄ　２∞ｌ，２　）与　Ｇ　Ｌ矛盾。于是Ｆ（ｚ）在ｚ一０为　＋ｍ阶，在Ｇ　处为一１阶，Ｇ　处为１阶。可以完全按照类似情况　（１）过程讨论，并且不难知道问题的广义自由度为　＋ｍ，此时，若构造ｈ（　）以（８）式给出，仍可得（１）　式的广义自由度为　＋　。　从以上讨论过程知，ＤＲｍ问题中（１）式的广　义自由度在Ｇ．属于　上时亦为　＋ｍ，定理得证。　附注２从以上讨论知，广义自由度是ＤＲｍ　问题中（１）式所固有的，不随构造函数ｈ　）不同而　变化。因此，从一定意义上说广义自由度是该问题　一个不变量。　在实际双周期平面弹性问题ｕ　转化为双周　期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题后，并不一定能利用标准求　解法求解，也会出现该文的特殊情况，关于这方面　的研究结果将在另一篇文章中介绍。　［参考文　献］　［１］路见可．解析函数和奇异积分方程论文集［ｃ］．武汉：武汉大　学出版社，１９９８．　［２］路见可，蔡海涛．平面弹性理论的周期问题［Ｍ］．长沙：湖南　科学技术出版社，１９８６．４—１５１．　［３］路见可．平面弹性复变方法（第２版）［Ｍ］．武汉：武汉大学出　版社，２００２．６—３６．　［４］路见可．双周期平面弹性理论中的复Ａｒｉｒｙ函数［Ｊ］．数学杂　志，１９８６，６（３）：３１９—３３０．　［５］路见可．解析函数边值问题［Ｍ］．上海：上海科学技术出版　社，１９８７．１３５—１４３．　［６］　路见可．关于双周期Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题［Ｊ］．武汉大学学报　（自然科学版），１９７９，（３）：１—１０．　［７］　阿尔福斯Ｌ　Ｖ．复分析［Ｍ］．张　立，张　靖译．上海：上海　科学技术出版社，１９８４．２６３—２８３．　［８］　穆斯海里什维里Ｈ　ｎ．奇异积分方程［Ｍ］．朱季讷译．上海：　上海科学技术出版社，１９６６．１—８．　（责任编辑闫杏丽）