一类二维单个守恒律方程的Riemann问题

２０１０年１２月　Ｄｅｃ．．２０１０　应用数学与计算数学学报　Ｃ０ＭＭ．ＯＮ　ＡＰＰＬ．ＭＡＴＨ．ＡＮＤ　Ｃ０ＭＰＵＴ　第２４卷第２期　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．２　一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题　张泓知　，。　盛万成。　摘要本文研究一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题．用广义特征分析方法研究　了这类方程，给出了基本波的分类，解决了初值为两片常数的二维Ｒｉｅｍａｎｎ问题，给出　了Ｒｉｅｍａｎｎ解．　关键词二维Ｒｉｅｍａｎｎ问题，单个守恒律方程，广义特征分析方法，基本波，激波，　疏散波　Ｔｈｅ　ＴＷＯ　Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｓｃａｌａｒ　Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　Ｌａｗｓ　Ｚｈａｎｇ　Ｈｏｎｇｚｈｉ　，　Ｓｈａｎｇ　Ｗａｎｃｈｅｎｇ。十　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｃｏｎｓｅｒｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ＳＣａｌａｒ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｌａｗｓ．Ｂｙ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｅｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｗａｖｅｓ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｐｉｅｃｅｓ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｄａｔａ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｔｗｏ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ＳＣａｌａｒ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｌａｗｓ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ａｎａｌｙ’ｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｗａｖｅ，ｓｈｏｃｋ　ｗａｖｅ，ｒａｒｅｆａｃｔｉｏｎ　ｗａｖｅ．　１　引　．．口　－ｌ　一　考虑二维单个守恒律方程　ｕｔ＋＿厂（　）　＋９（　“）　＝０　及其Ｒｉｅｍａｎｎ问题　“（０，　，Ｙ）＝ｕｏ（Ｏ）　（ｏ≤０≤２丌）　其中０＝ａｒｃｔａｎ　是ｘ，　）平面中的极角，ｕｏ（Ｏ）是分段常数函数，ｌ厂（　），ｇ（札）满足下　列条件：　（１），（ｕ），９（　）∈Ｃ。（　）；　（２）ｆ　（　）≠０，夕　（　）≠０；　收稿日期：２００７年１２月３日．　１上海应用数学与力学研究所，上海，２０００７２；Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００７２，Ｃｈｉｎａ　２．海南大学信息学院应用数学系，海南，５７０２２８；Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒ　ｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｈａｉｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｉｎａｎ　５７０２２８，Ｃｈｉｎａ　３．上海大学数学系，上海２００４４４；Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００４４４　Ｃｈｉｎａ　十通讯作者Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ａｕｔｈｏｒ　２　应用数学与计算数学学报　２４卷　（３）（Ｈ～　。）（　）　＞０．　条件（１）一（３）表明单个守恒律方程是真ｉＥ＿ｘ维的，且其基本曲线非凸，ｔｔ＝ｕ０是它　的一个拐点．为简单起见，又不失一般性，假设：　ｍ　㈤　（　咖，，（ｕ）＞。，乱（　）　＞。．　（Ｈ）　文［３—４］中给出了方程（１．１）的Ｃａｕｃｈｙ问题的存在性和唯一性定理，这表明了　Ｒｉｅｍａｎｎ问题（１．１）和（１．２）仅依赖于（　，叩）＝（ｘ／ｔ，ｖ／ｔ）的解唯一．因此，我们可以考虑　（∈，　ｒ／）平面中的解．此时，（１．１）变成　∈ｕ∈一ｑｕ　＋＿厂（ｎ）∈＋夕（Ⅱ）叩＝０，　而（１．２）得到在无穷远点的边界值　ｌ　ｉｍｔｇ／∈　ｆ２＋ｒｌ２一十　（∈，叩）∈　２，　（１．３）　（∈，叩）＝ｕ０（　），　∈［０，２丌】　．（１．４）　ｕｏ（Ｏ）的间断在（∈，叩）平面的无穷远点的邻域将产生含有基本波：稀疏波和激波（包含　半接触间断）的波．因此，构造（１．３）和（１．４）的Ｒｉｅｍａｎｎ解，实质上是研究基本波的相　互作用并最终在一起匹配．　［２，８—１２］等在不同的条件下，得到Ｔ．维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题的解．　我们将以ｆ（ｕＪ＝Ｕ２／２，ｇ（ｕ）＝Ｕ４／４为例，在假设（Ｈ）下讨论基本波的分类及Ｒｉｅｍａｎｎ　问题．　２广义特征分析　２．１特征线及其奇性曲线　对于光滑解，方程（１．３）可以写为　（，　（ｕ）一ｆ）ｕ∈＋（ｇｌ（札）～叩）ｕ　＝０　因此，（１．３）的特征方程是　ｔｆ　一叩一　）　对该系统积分，我们得到特征线　｝　其中　和Ｃ是任意常数．以上特征线在（∈，叼）一平面上的投影也同样称为特征线这些　特征线显然都是半射线，其终点是（２．２）的积分曲线的奇点（∈叩）：（，，（　），９，（ｕ））上．　．，２期　张泓知，等：一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题　３　这些奇点对应到下列形式的特征线　１ｆ　＝，　：－９　，（（Ⅱ）ｔ　）￡　　（２．４）　由于Ｒｉｅｍａｎｎ数据（１．２）在原点处的奇性，每一条这些线都是一个特征面的边界．　当ｕ取Ｕｌ时的每一条特征线都是指向（∈，叩）一平面中的奇性点（∈，卵）＝（．厂　（乱１），ｇｔ（　））　１（见图１）．（２．３）式所有的奇性点的集合是一条参数曲线　：　ｃ……。。　５　同文［９，１１］，称其为基本曲线或特征线的奇性曲线，记为Ｉ１（“）：叩＝　（∈）．它具有以下　性质．　引理１在条件（Ｈ）下，特征线的奇性曲线ｒ（ｕ）：叩＝叩ｒ（　），是单调递增的，并　且（∈，卵）＝（，　（０），ｇｌ（０））全Ａ０是它唯一的拐点．　证明根据条件（Ｈ）和ｒ（ｕ）的定义，我们有塞＝笋　＞０，即ｒ（札）单调，　髻：（　）　ｄｕ　ｆ－Ｇ　；　；南　＇ｔＩｔ＞０＝０．，　（２．６）　＜０．　由此引理，在ｒ（ｕ）和ｔｔ轴之间存在一个１—１映射，而一条特征线上的“可以定　义为这些特征线与奇性曲线ｒ（ｕ）的交点．因此，在不引起异义的情况下，可以把Ｉ、（札）　看成为“轴．如果某区域内所有的特征线直到奇性曲线ｃ（ｕ）才相交，那么我们就称其　为疏散波，记为Ｒ．　２．２间断及其奇性曲线　考虑（２．１）与（２．２）的间断解．令ｓ：ｒ＇／＝叩（∈）为解的一个间断，其上点Ｐ（∈ｏ，叩ｏ）两　侧ｕ的极限值分别为Ｕ一和ｕ＋，那么按照Ｒａｎｋｉｎｅ—Ｈｕｇｏｎｉｏｔ（Ｒ－Ｈ）关系，有：　ｄＴ］：　∈（２．一７）　　其中　。　Ｊ　＋＇＋，　一ｔ上一　＝　ｉ　二　上一　ｆ上一　，’　夕　＋，ｕ＋，　一＝　　一　，　（２．８）　Ｊ＿～钆一　以下，点（∈，叩）＝（　，　）记为Ａ＋，一等等．根据Ｒ－Ｈ关系（２．７），在点Ｐ（∈ｏ，卵０）　的切线，必然过点　＋，一．因此，我们规定ｓ的方向为其切线向量指向　＋，一，或者简单　的说，ｓ指向点　＋．一．　４　应用数学与计算数学学报　２４卷　ｇ－　．　与特征线的奇性曲线类似，（２．７）的积分曲线同样有它自己的奇性点（∈，叩）＝（　＋，　，　）．如果固定Ｓ一侧的状态ｕ一，而使另一侧的状态札变化，则所有的奇性点构成　一了一个以ｕ为参数的曲线：　，ｕ一　Ｕ－　（一。Ｃ＜“＜＋。。）　（２．９）　．这条曲线称为间断线的奇性曲线，记为Ｆｓ（ｕ，　一）或者卵＝叩ｒ。（ｆ）．它同样有与特征线　的奇性曲线相类似的性质．　引理２对于任意固定的“　∈　，奇性曲线ｒｓ（ｕ，　）：叩＝叩ｒ。（∈）有如下性质：　（Ｉ）Ｆｓ（ｕ，“１）单调递增；　（２）ｒｓ（“，ｎ　）与ｒ（　）在ｒ（“　）＝（．厂　（Ｊ“　），Ｉ９　（“１））处相切；　（３）除了在　１＝，　（　“１）点外，　．　ｌ＞７７　（∈），　ｓ　∈＞，　（０）　１＜叩ｒ（　），　＜，，（０）　（４）Ｖ“ｌ＜　２，除了在０点相交外，Ｆｓ（ｕ，７２１）与Ｆｓ（ｕ，％ｔ２）在Ｆｓ（ｕ２，Ｕ１）＝ｒｓ（ｕｌ，　２）＝　（　胁，　）　Ａｍ处有唯一的交点．且　，　（　）＜　。＜，　（ｕ２）　（５）Ｖ　１＜“２，ｒ（　１）位于Ｐｓ（ｕ，Ｕ２）在点ＰＳ（Ｕｌ，Ｕ２）处的切线上；Ｆ（ｕ２）位于Ｆｓ（ｕ，Ｕ１）在　点ｒｓ（ｕ２，“１）处的切线上．　证明　ｄｒｈ，ｓ一：　ｄ∈　＝　ｄ“／　ｄ“　２／　：　．厂　（“）一　．　二　！　．　ｆ２．１０）　ｄ∈。　（，　）一　（　一＿，　（ｎ）　．　，　）一咒　／）『　　．　（２．ｉｌ）　（１）根据条件（Ｈ），有　（　（ｕ）一，　，　）（ｕ一札　）＞０，（９－　（¨）一＿ｑ　、　）（ｕ—ｕ　）＞０，　所以，　＞０・　一　，（２）由（２．８），有ｌｉｍ　＂１１—　Ｕ１　，　（　１），　ｌｉｎｌ　Ｕ—｝“１　一　：９　（ｕ１）．于是有　Ｆｓ（ｕ，１１，１）ｌｕ＝￣ｌ：ｒ（札）ｋｕ＝￣ｌ，　且　ｌｉｒａ　…＝ｌｉｍ　…一　＝　…　２期　张泓知，等：一类二维单个守恒律方程的Ｒｉ。ｍａ　问题　５　（３）由（２．１１），　－厂，，（ｕ）　／，９，，（“，）　夕　（，ｆ上）　ｄ∈０　ｌ＝“一“　…ｌＪ．ｉ１ｍ１１１　，　Ｕ＝Ｕｌ　．７　一　＿厂　（　）　＝兰　（丽　而／　）Ｊ　（２．１３）　从而　（警一　）　＿一一　１而１（　）　＜　ｕｌ＞０。￣．　再结合（２）的结果，　可知当，“　＞０时，在∈：，　（，“　）点的某个邻域（∈　：‘厂，（札　）除　外）内，『／ｒ　（∈）＞　（∈）．从而有叩ｒ　（　）＞　（∈），　＞，，（０）．事实上，若不成立，则必然　存在　＝，　（　２）（不失一般性，假设　＞　），使得叩ｒ　）＝叩ｒ（　）．从而有　，　２）：　。　，　９Ｉ　２）＝９　，　，　（２．１４）　其中，屯２是Ｆｓ（ｕ，ｕ１）对应于交点（　２，叩ｒ（　））的参数．从而　ｌ＜　＜　２．另一方面，　我们有，　ｄ叩　ｌ　，ｄ叩　ｌ　。　即　ｌ厂　。）一　。　≤　．　（２．１５）５Ｊ　由（２．１４）和（２．１５）式，我们可得　９　（　２）一ｇｌ（，“２）　９　（　２）　．厂　（　２）一．厂　（　２）　，　（札２）‘　根据Ｃａｕｃｈｙ中值定理，　∈（　“２，　２），　ｓ．ｔ．　夕　（面）／，ｇ　（“２）　而这与（笋　）　＞０矛盾；　同理可以证明卯　（　）＜叩ｒ（∈），Ｖ∈＜，　（０）．　（４）由Ｆｓ（ｕ，　）的性质（１），可知Ｆｓ（ｕ，＂　）与　一轴之间存在一个１—１映射，　而　值是由Ｓ的一侧上的一个特征线给出的．这就意味着本结论成立．　（５）由下列式子，本结论显然成立：　＝　１（　“２．　）　，　（　）～　。　’，ｉ：１，２Ｆｓ　　６　应用数学与计算数学学报　２．３熵条件　不失一般性，以下我们均假设ｉｔ一＜ｉｔ＋．为了获得唯一的分片光滑解，我们需　要Ｒａｎｋｉｎｅ—Ｈｕｇｏｎｉｏｔ条件（２．７）和一个熵条件．根据Ｋｒｕｚｋｏｖ的存在性和唯一性定　理，文［１，７］中的熵条件应为：　Ｈ（ｋ）　ｋ　Ｖｋ∈（　一，ｕ＋）．　（２．１６）　其中，日（“）＝　，（札）＋　９（札），且ｎ（ｅ）：（　，　）（　。＋／／＇。一１）足Ｓ在Ｐ点的法向，其方　向由ｕ一指向　ｚ＋．我们同样可以用几何形式来重写Ｒａｎｋｉｎｅ—Ｈｕｇｏｎｉｏｔ条件（２．７）和熵　条件（２．１６）：　ｉｆ（Ｐ）・Ｐｒｓ（ｕ＋，　一）＝０，　ｉｆ（Ｐ）・Ｆｓ（“，乱一）ｒｓ（札，乱＋）≤０，　（２．１７）　（２．１８）　（２．１９）　（Ｐ）・Ｐｓ（ｕ，ｉｔ＋）ｒｓ（　，札一）≥０，　关系（２．１７）一（２．１９）意味着线段ＰＦｓ（　，ｕ一）是间断线ｓ在尸点处的切线，Ｖｕ∈　（　，ｉｔ＋），向量　（Ｐ）与向量Ｆｓ（ｕ，—　）ｒｓ（　，“一）之间的夹角是钝角，且Ｖｕ∈（ｉｔ一，“＋），　向量　（尸）与向量　‘ｎ　之间的夹角是锐角．特别地，当（２．１８）或者（２．１９）　式中的等式成立，则必为一个半接触间断．　如果间断线Ｓ：叩＝叩（∈）满足Ｒａｎｋｉｎｅ—Ｈｕｇｏｎｉｏｔ条件（２．７）和熵条件（２．１６），则我　们称其为激波（包括接触间断，记为Ｊ）．所以我们有以下的几何准则．　引理３在条件（Ｈ）下，一个连接ｕ　和ｉｔ２的间断线是激波当且仅当　（１）间断线的方向指向点Ｆｓ（ｕ１，ｉｔ２）；　（２）间断线两侧的特征线不指向外．　最后，我们把一个疏散波和一个激波分别划分为两类：　Ｒ一兄土若　ｕ与特征线的方向组成一个左手系（有手系）；　Ｓ＝Ｓ士若法向向量与Ｓ的切向向量组成一个右手系（左手系）．当它包含接触间　，，断时，激波记为ＪＳ±或者　士．　Ｒ＝Ｒ士与Ｓ—ｓ土统称为基本波．　３基本波的分类　当我们求解系统（１．３）的边值问题（１．４）时，假设　是初始间断线，在（∈，叩）一平　面无穷远点的某个临域内从无穷远点沿着　方向投射了一个波（　或Ｓ，记为　），　１（ｉｔ２）分别是“在　左（右）侧的极限．根据Ｒ士，ｓ士，　土的定义及他们在引理１和　引理２中的性质，针对ｌ厂（ｕ）＝？ｔ２／２，＿９（ｕ）＝２１４／４，我们可以把初始间断分为以下几类。　（∈，叼）一平面被分为４个角域Ｑｉ（札　，仳２）（也简记为Ｑｉ），角度分别为Ｑ　（ｉ＝ｌ，…，４），满　足Ｅ　＝２７ｒ，且Ｑ　以射线　和　＋１为边界（ｇ５＝　１）．而下列每个图中　与　都互　ｚ＝１　相平行．　２期　张泓知，等：一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题　７　１．乱１＜０＜　２：根据点Ｆｓ（ｕ１，　２）与直线Ｆ（Ｕ１）Ｆ（ｕ２）的位置关系分为两个小类：　１）点Ｆｓ（“１，札２）在直线Ｆ（　）ｒ（札２）的下方，此时　的方向为ＦＳ（￣ｔｌ，“２）Ｆ（札２），　的方　向为　，　在点Ｆ（　。）处与特征线的奇性曲线ｒ（ｕ）相切，　为ｒ（　）向间断　的奇性曲线Ｆｓ（－“，“　）引的一条切线（切点其实是两条间断的奇性曲线不同于Ｆｓ（ｉｔ１，ｒ“ｚ）的　另一个交点，并且也不是ｒ（“，）与Ｆｓ（　，Ｕ１）的公共切点Ｆ（ｕ１），在这里ｆ（ｕ）＝ｕ　／２，ｇ（饥）＝　乱　／４时，切点其实就是原点）：　●　Ｌ　，　１　＝　，ｌ●●●●●－，、●●●●【／　　Ｑｌ　／　／　％　／／　｜Ｑ‘　｝　　，一　／　＋　％　一　２　／　Ｑ３　ｒｆｕ　。　图１　∈【２１，　∈　２，　∈Ｑ３，　（３．１）　∈Ｑ４，　其中，　代表“　∈（　，　ｚ）在Ｑ２或者Ｑ４中依次满足：　　ｌ：　‘厂　（ｕ　）一　，　’，　ｉ＝１，２　２）点ｒｓ（ｕ　，ｕ。）在直线　的上方，此时　的方向为　，　的　方向为　，％在点ｒ（　）处与特征线的奇性曲线ｒ（ｕ）相切，　为Ｆ（钆。）向　间断的奇性曲线ｒｓ（　，ｒ“ｚ）引的一条切线（在这里切点其实就是原点）：　　ＪＬ吖　１　Ｑ１　／　／　３　Ｑ３　图２　８　应用数学与计算数学学报　：ＪＩ　　＋　Ｒ　，　ｆ　，　∈【２１　∈Ｑ。　∈　３　（３．２）　【Ｒ　＋　ｓ　其中“　与情形（ａ）中的含义相同．　２．　。＜０＜　：根据点Ｉ＂ｓ（　，ｎ２）与直线　∈Ｑ　的位置关系分为两个小类：　，－Ｉ●Ｉ●●●Ｊ‘ｌ●●●●１）点Ｆｓ（“　．ｕ　）在直线　曲线ｒ（札）相切，　丽的下方，此时　在点ｒ（　）处与特征线的奇性　【　为ｒ（－“ｚ）向间断的奇性曲线Ｆｓ（ｕ，　ｚ）引的一条切线（在这里切点　其实就是原点）．％的方向为ｒ（　１）ｒｓ（Ⅱ１，　“ｚ），　＋他＋砘硫　　的方向为Ｉ１（　）ｒｓ（　１，　）：　　一，　一　　一＋　Ｒ　　Ｉｒ／　，　Ｑ１　／　ｌ　２４　ｉ／　【２２／　ｒ　３　３　Ｑ３　∈Ｑｌ　∈　２　∈Ｑ３　∈　４　（３．３）　２）点Ｉ１ｓ（札　，　ｚ）在直线　的上方，此时　在点ｒ（　。）处与特征线的奇性　曲线ｒ（ｕ）相切，　为ｒ（“　）向间断的奇性曲线Ｆｓ（ｕ，　）引的一条切线（在这里切点　其实就是原点）．　的方向为　，　的方向为　：　．　，　１　【２　／　Ｑ４　｜ｋ　／　　Ｑ３　３　４　２期　张泓知，等：一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题　９　∈Ｑ１，　∈Ｑ２，　∈【２３，　（３．４）　∈ｆｔ４　３．ｉｔ１，ｉｔ２≥０或者　“１，札２≤０．这两种情况事实上就是无拐点的奇异曲线中的情形，　它们在［２，７，９，１１—１２］中已经详细讨论过了，在这里我们略过．　４　具有两片常状态的Ｒｉｅｍａｎｎ解的结构　在这一节里，我们将根据引理３指出的几何标准以及关于初始间断（３．１）～（３．４）的　分类，解出具有两片常状态Ｒｉ黔　＋　ｏ＝　　一ｅｍａｎｎ数据的Ｒｉｅｍａｎｎ问题（１．１），这其中包含了基本　波的相互作用．　假设初始平面被两条从原点出发的射线，划分成了两块，在每一块上分别是Ｒｉｅ—　ｍａｎｎ数据的一个常状态，表达式如下：　札。ｃ臼　＝｛　：；茎　，　。　，　。≤　＜　ｚ≤２丌　（４．１）　其中ｉｔ１　ｉｔ２是常数。我们只需要考虑　２＜０＜ｉｔ１这种情形，而ｕ１＜０＜扎２这种情形　是类似的。其它的情形，如：“　，ｉｔ。≥０以及ｕ　，Ｕ２≤０就是特征线的奇性曲线无拐点　的情形，它们已经在［２，７，９，１１—１２］中讨论过了，本文略过．　根据第三节的关于基本波的分类讨论，我们可以知道，针对仳ｚ＜０＜ｕ　这种情　形，由Ｆｓ（ｕｌ，７１＇２）在直线Ｆ（ｕ１）Ｆ（ｕ２）上方和下方以及０１，０２所代表的两条初始间断线　的方向，可以具体划分为３２种小的情形．由于本文长度所限，现从其中挑出几种典型　的情况予以讨论，其它的详细过程略过．　１．Ｒ十２＋Ｒ　，及　＋ｓ　．这是最简单的两种情况．其中Ｒ十２与Ｒ　在特征线的　奇性曲线ｒ（ｒ“）上相交，而ｓ击与ｓ　都指向同一个终点ｒｓ（ｕｌ，７１＇２）＝（　ｌ　９ｉ２）．　２．基本情形　：　十　＋２．我们假设初始间断线如图５所示，因此一个激波和一　个疏散波：　＝ｋｘ　＼ｕ　２　＼　Ｕ　＂ｉｔ１　‘＼　＼～　／　乱＝　ｆ上１　乱　１　图５　１０　应用数学与计算数学学报　２４卷　｛慧　，　（“＋）　（　（∈一Ｕ　）２≤“，　≤Ｕ１）　从无穷远点把两片状态Ｕｌ和Ｕ２分割开来，其中ｋ是常数．　和Ｒ　相交于点　Ｐ＝（‘厂　（ｕ　），　＋ｋ（ｆ　（“ｚ）一　）），然后激波将会刺穿疏散波，从而构成一条新的间断　线叩＝ｒ『ｓ（∈），从点Ｐ起满足如下Ｒａｎｋｉｎｅ—Ｈｕｇｏｎｉｏｔ条件：　＝　，　）‘（ｕｚ　１）１　（４．２）　【　∈　，，（１　。）＝夕　１＋　（，　２）一　）．　因此，（４．２）的积分曲线取如下参数形式（７１，为参数）　ｆ　（“），　Ｕ２≤ｕ≤Ｕｌ，　叼ｓ（“）　ｕ　ｅｘｐ＋（９　＋　（，　（扎ｚ）一．，ｉ２））ｅｘｐ（一　。（ｓ，　）ｄｓ），　其中，　（￣ｓ。ｃ　，ｕ　ｄ　）９，ｓ，　。ｃｓ，乱１）ｄｓ、　）＝　，　（４・３）　（４・４）　与ｆ１２］中的证明类似，可以很容易地得到积分曲线有一个最小值的点札＝＂／－ｔＯ（由ｒ／ｓ（ｕｏ）＝　９　所确定的）．当　≤　ｏ时，它是单调递减的，而当Ｕ≥ＵＯ时单调递增，并且总　是在特征线的奇性曲线ｒ（ｕ）的上方直至在点Ｆ（Ｕ１）＝（Ｉ厂　（　），９　（札１））相切结束．即：　Ｖｓ（ｕ）＞９　（札）（Ｕ２＜“＜ｌ／１）且Ｔ／Ｓ（Ｕ１）＝夕　（　１）．　方程组（４．２）表明，间断线叩＝叩ｓ（∈）的切线总是指向间断的奇性曲线ｒｓ（ｕ，Ｕ１）　（Ｕ２≤“≤ｎ１）．且有：　孥＝ｄ∈０　“　南一乱１　ｆ　（　）ｆ一　＞。一．　、。５　因此，（４．２）的积分曲线是凸的．　进一步，我们很容易就可以知道，除了Ｆ（ｕ１）点是特征线从状态　＝ｕ　相切到间　断线之外，曲线两边的所有的特征线都是进入的，这表明间断线在点Ｆ（Ｕ１）处消失了．　因此，间断线叩＝Ｗ（ｕ）是容许的　３．基本情形Ｂ：Ｒ　十Ｓ　．为了简单起见，我们假设初始间断曲线如图６所示，　则一个疏散波和一个激波：　２期　张泓知，等：一类二维单个守恒律方程的Ｒｉｅｍａｎｎ问题　１１　＿“２　ｕ２　厂　—　Ｉ　Ｊ　钆２　＼Ｙ＝ＣＸ　图６　ｆ　Ｒ　：叩　＝　ｇｌ（ｕ）＋ｃ（∈一．厂　（ｕ））　（　２≤ｕ≤　１），　【ｓｆ２：叼＝ｇ　ｌ＋　（∈一　１），　从无穷远点把两片状态　“　和１１，ｚ分割开来，其中ｃ，ｋ是常数．这两个波在点　尸１＝　９１（１“１）一ｇ２／１＋ｋｆ；１一ｃｆ　（Ｕ１）ｋ　ｇｔ（ｕ１）一ｃ９１１　＋　　Ｃ　一Ｃ　（处开始相交，并构成一个新的间断曲线叩一叩ｓ（　）．与［１，７，１２］类似，可以知道，激波将　首先刺穿疏散波Ｒ　（Ｕ２＜　≤“１），然后从点Ｐ２（∈一，　（　））处发出一个包络疏散波．　这个包络疏散波以一个新的半接触间断与疏散波Ｒ　（７２２＜　≤　）．这个新的半接触　间断是单调递减的、凹的、与上方接触，并且在Ｐ３（　：ｆ　（五））点处与ｒ（　）相切结束，　与疏散波Ｒ　在Ｆ（ｕ）上相连．其中，　＝　（ｕ１，Ｕ２）且　＝　（ｕ１，　“２）．　４．其它的情形．通过把之前的结果进行组合，容易得到剩下的２８种情况下的结　果：　（１）点ｒＳ（ｕｌ，Ｕ２）在直线ｒ（￣１）ｒ（ｕ２）之上时　ｆ　＋　＋ＪＳ２２，　ｆ　Ｒ　＋Ｒ　＋　＿２，　【ｓ　＋ＪＳ￣－，＋Ｒ　，　【Ｒ　＋　ｓ五＋Ｒ＋２，　ｒ　Ｒ　＋　ｓ　＋Ｒ十２，　ｒ　Ｓ珐＋Ｒ　＋Ｒ十２，　Ｊ　Ｒ　＋　ｓ　＋Ｒ　＋　ｓ　Ｊ　ｓ　砬＋Ｒ２１＋Ｒ　＋ＪＳ２２　ｌ　Ｒ云＋ｔ厂　＋ｓ　，　ｌ　ｓＪ；＋Ｒ　＋　，　Ｌ　Ｒ云＋ｒ，ｓ　＋ＪＳ１．＋Ｒ十２　Ｌ　ｓＪ；＋ｔ？２－１＋ＪＳｆ，＋Ｒ　ｌ２　应用数学与计算数学学报　２４卷　（２）点ｒｓ（＇ｕｌ，７．１２）在直线ｒ（“１）ｒ（　之下时：　Ｊｆ　＋Ｊ　ｓ　＋Ｒ＿Ｓ２，　１．＋Ｒ　１【　＋ｓｆ２，　５茜＋Ｒ　＋ＪＳ２２　ｆ　Ｊｓ＋＋Ｒ　＋Ｒ＋２，　Ｊ　ＪＳＬ＋Ｒ　＋ＪＳ￣－．＋Ｒ　Ｉ　ｆ，　＋Ｒ　＋　，　Ｌ！，ｓ去＋　＋　＋　ｆ　五＋Ｊｓ５＋Ｒ十２，　ｊ　Ｒ　＋　５　＋Ｊｓ￣＋Ｒ　．　Ｊｆ　　Ｒ　＋Ｒ十Ｒ　２，　１【　Ｒ　＋ｓ　．　Ｒ　＋　＋ＪｓＶ．＋　＋Ｊｓ２２　Ｉ　Ｒ　＋ＪＳ＋ｘ＋ｓ１２，　【兄云＋　ｓ　＋月　＋　ｓ　．　由于本文的长度所限，具体的讨论在此略过　参考文献　［１］Ｃｈａｎｇ　Ｔ．＆Ｈｓｉａｏ　Ｌ．Ｒｉｅｍａｎｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｎｄ　Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｗａｖｅｓ　ｉｎ　Ｇａｓ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｉｔｍａｎ　Ｉｔｌｏｎｏｇｒａｐｈｓ，Ｓｕｒｖｅｙｓ　Ｐｕｒｅ　Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．，１９８９，４１．　ｆ　２　　ＩＣｈｅｎ　Ｇ．Ｑ．，Ｌｉ　Ｄ．＆Ｔａｎ　Ｄ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｒｉｅｎｌａｎｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　２－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　８Ｃａｌａｒ　ｃｏｎｓｅｒ—　ｒａｔｉｏｎ　ｌａｗｓ［ａ、　Ｄｉ乳【＂ａｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　１９９６　１２７：１２４—１４７　［３］Ｃｏｎｗａｙ　Ｅ＆Ｓｍｏｌｅｒ　Ｊ　Ｇｌｏｂａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｃｏ：ｕｌｍ．Ｐｕｒｅ　Ａｐｐｌｅ．Ｍａｔｈ．１９６６，ＸｌＸ：９５—１０５．　［４】Ｇｕｃｋｅｎｈｅｉｍｅｒ　Ｊ．Ｓｈｏｃｋｓ　ａｎｄ　ｒａｒｅｆａｃｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｗｏ　ｓｐａｃｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ１．Ａｒｃｈ．Ｒａｔｉｏｎａｌ　Ｍｅｃｈ．　Ａｈａ１．，１９７５　５９：２８１—２９１．　［５］Ｈｉａｏ　Ｌ．＆Ｋｉｌｉｎｇｅｎｂｅｒｇ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｐｒｅｐｒｉｎｔ，Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１９８６．　［６】Ｋｒｕｚｋｏｖ　ｓ．Ｎ．Ｆｉｒｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．　ＵＳＳＲ　Ｓｂ．．１９７０．１０：２７１—２４３．　［７］Ｌｉ　Ｊ．，Ｚｈａｎｇ　Ｔ．＆Ｙａｎｇ　Ｓ．Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　Ｇａｓ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ／Ｊ］．Ｐｉｔｍａｎ　Ｍｏｎｏｇｒａｐｈｓ．Ｓｕｒｖｅｙｓ　Ｐｕｒｅ　ＡｐｐＩ．Ｍａｔｈ．，１９９９，９８．　Ｉ８ｌ　Ｌｉｎｄｑｕｉｓｔ　Ｗ．Ｂ．Ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｔｗｏ　ｓｐａｔｉａｌ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ：Ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ｓｊＡＭ　Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．．１９８６．１７：ｌ１７８—１１９７．　９］　Ｓｈｅｎｇ　Ｗａｎｃｈｅｎｇ．Ｔｈｅ　Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｓｃａｌａｒ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｌａｗｓ［Ｊ］　Ｄ　Ｅｑｕｓ．．２００２．３８：５３４—５５９．　１０】Ｗａｇｎｅｒ　Ｄ．Ｔｈｅ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｔｗｏ　ｓｐａｃｅ　ｄｉｍｅｎｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｌａｗ［Ｊ　ＳＩＡＭ　￣ｌａｔｈ．Ａｎａｌ，，１９８３，３８：５３４—５５９．　１１　Ｚｈａｎｇ　Ｐ．＆Ｚｈａｎｇ　Ｔ．Ｇｅｎｒａｌｉｚｅｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｇｕｃｋｅｎｈｅｉｍｅｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｄｉｆ－　ｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９９，１５２：４０９—４３０．　［１２］Ｚｈａｎｇ　Ｔ．＆Ｚｈｅｎｇ　Ｙ．Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｒｉｅｍａｎｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｌａｗ［Ｊ］　Ｔｒａｎｓ．Ａｍｅｒ　Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，１９８９，３１２：５８９—６１９．