向量组的线性相关与线性无关【范本模板】

1。线性组合

设a1,a2,,atRn，k1,k2,,ktR，称k1a1k2a2ktat为a1,a2,,at的一个线性组合。

k1k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，k1a1k2a2ktat(a1,a2,,at)。这

kt样的表示是有好处的。 2。线性表示

设a1,a2,,atRn，bRn，如果存在k1,k2,,ktR,使得

bk1a1k2a2ktat

则称b可由a1,a2,,at线性表示。

k1k2bk1a1k2a2ktat,写成矩阵形式，即b(a1,a2,,at)。因此，b可

ktk1k2由a1,a2,,at线性表示即线性方程组(a1,a2,,at)b有解，而该方程组有解

kt当且仅当r(a1,a2,,at)r(a1,a2,,at,b)。 3。向量组等价

设a1,a2,,at,b1,b2,,bsRn，如果a1,a2,,at中每一个向量都可以由

b1,b2,,bs线性表示，则称向量组a1,a2,,at可以由向量组b1,b2,,bs线性表示。

如果向量组a1,a2,,at和向量组b1,b2,,bs可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：

1

(1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价.

（2） 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价.

（3） 传递性 若向量组I与II等价,向量组II与III等价，则向量组I与III等价。 证明:

自反性与对称性直接从定义得出.至于传递性，简单计算即可得到. 设向量组I为a1,a2,,ar,向量组II为b1,b2,,bs,向量组III为c1,c2,,ct。向量组II可由III线性表示，假设bjykjck,j1,2,,s.向量组I可由向量

k1t组II线性表示，假设aixjibj，i1,2,,r.因此，

j1saixjibjxjiykjck(ykjxji)ck，i1,2,,r

j1j1k1k1j1sstts因此，向量组I可由向量组III线性表示。

向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出,向量组III可由I线性表示.

因此,向量组I与III等价.结论成立！ 4。线性相关与线性无关

设a1,a2,,atRn，如果存在不全为零的数k1,k2,,ktR,使得

k1a1k2a2ktat0

则称a1,a2,,at线性相关,否则，称a1,a2,,at线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，a1,a2,,at线性相关即齐次线性方程组

k1k2(a1,a2,,at)0 kt有非零解,当且仅当r(a1,a2,,at)t。a1,a2,,at线性无关，即

2

k1k(a1,a2,,at)20

kt只有零解，当且仅当r(a1,a2,,at)t。

特别的,若tn，则a1,a2,,anRn线性无关当且仅当r(a1,a2,,an)n,当且仅当(a1,a2,,an)可逆，当且仅当(a1,a2,,an)0。

例1. 单独一个向量aRn线性相关即a0,线性无关即a0.因为，若a线性相关，则存在数k0，使得ka0，于是a0.而若a0,由于1aa0，10因此，a线性相关。

例2。 两个向量a,bRn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为,若a,b线性相关,则存在不全为零的数k1,k2，使得k1ak2b0。k1,k2不全为零，不妨假设k10,则ak2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨假k1设存在，使得ab，则ab0，于是a,b线性相关。

100x1例3.0,1,0线性无关，且任意xx2R3都可以由其线性表示，且表示

001x3方法唯一。事实上，

x1100xx2x10x21x30 x00135。线性相关与无关的性质

（1） 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：

设a1,a2,,atRn，其中有一个为零，不妨假设at0,则

0a10a20at1100

因此,a1,a2,,at线性相关。

3

(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明：

设a1,a2,,at,1,2,,sRn，a1,a2,,at线性相关。存在不全为零的数

k1,k2,,kt，使得

k1a1k2a2ktat0

这样，

k1a1k2a2ktat01020s0

k1,k2,,kt不全为零，因此，a1,a2,,at,1,2,,s线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确.

(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明:

设a1,a2,,atRn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量

ata1a2最后一个分量之后，成为,,,,b1,b2,,bt是同维的列向量。令

b1b2btakakaktataak11k22ktt11220 b1b2btk1b1k2b2ktbt则k1a1k2a2ktat0。由向量组a1,a2,,at线性相关,可以得到

k1k2kt0。结论得证！

（4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明:

设a1,a2,,atRn为一组向量。

必要性 若a1,a2,,at线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,,kt，使得

k1a1k2a2ktat0

k1,k2,,kt不全为零，设kj0，则

4

ajk1a1kj1aj1kj1aj1ktatkj

充分性 若a1,a2,,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设aj可以表示成a1,,aj1,aj1,,at的线性组合，则存在一组数k1,,kj1,kj1,,kt，使得

ajk1a1kj1aj1kj1aj1ktat

也就是

k1a1kj1aj1ajkj1aj1ktat0

但k1,,kj1,1,kj1,,kt不全为零,因此，a1,a2,,at线性无关。

【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。

(5) 若a1,a2,,atRn线性无关,bRn，使得a1,a2,,at,b线性相关，则b可由

a1,a2,,at线性表示，且表示方法唯一。 证明：

a1,a2,,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数k1,k2,,kt,kt1，使得

k1a1k2a2ktatkt1b0

kt10，否则kt10，则k1a1k2a2ktat0。由a1,a2,,at线性无关，我们就得到k1k2kt0，这样,k1,k2,,kt,kt1均为零,与其不全为零矛盾！这样，

bk1a1k2a2ktat

kt1因此，b可由a1,a2,,at线性表示。

假设bx1a1x2a2xtaty1a1y2a2ytat，则

(x1y1)a1(x2y2)a2(xtyt)at0

由a1,a2,,at线性无关,有x1y1x2y2xtyt0,即

5

x1y1,x2y2,,xtyt

因此，表示法唯一。

【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a1,,at线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a1,,at线性表示，即线性方程组(a1,,at)xb有解。而a1,,at线性无关，即r(a1,,at)t。因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯一。

(6) 若线性无关向量组a1,a2,,at可由向量组b1,b2,,bs线性表示,则ts。 证明：

假设结论不成立，于是ts.a1,a2,,at可由b1,b2,,bs线性表示。假设

x11x21a1x11b1x21b2xs1bs(b1,b2,,bs)， xs1x12xa2x12b1x22b2xs2bs(b1,b2,,bs)22，

xs2………………………………………………………。

x1txatx1tb1x2tb2xstbs(b1,b2,,bs)2t，

xst任取k1,k2,,kt，则

k1x11kxk1a1k2a2ktat(a1,a2,,at)2(b1,b2,,bs)21ktxs1x12x22xs2x1tk1x2tk2 xstkt 6

x11x21由于xs1x12x22xs2x1tx2t为一个st阶矩阵,而ts，因此,方程组 xstx11x21xs1x12x22xs2x1tx2tx0 xstk1k2必有非零解，设为，于是k1a1k2a2ktat0。因此，存在一组不全为kt零的数k1,k2,,kt，使得k1a1k2a2ktat0.因此，向量组a1,a2,,at线性相关，这与向量组a1,a2,,at线性无关矛盾！因此，ts。

(7) 若两线性无关向量组a1,a2,,at和b1,b2,,bs可以相互线性表示，则ts. 证明：

由性质（6），ts，st,因此，st。

【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。

(8) 设a1,a2,,atRn，P为n阶可逆矩阵，则a1,a2,,at线性无关当且仅当

Pa1,Pa2,,Pat线性无关。b可由a1,a2,,at线性表示，当且仅当Pb可由 Pa1,Pa2,,Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变. 证明：

由于P可逆，因此

k1a1k2a2ktat0P(k1a1k2a2ktat)0 k1(Pa1)k2(Pa2)kt(Pat)0k1a1k2a2ktatbP(k1a1k2a2ktat)b

k1(Pa1)k2(Pa2)kt(Pat)Pb如此，结论得证！

7

6。极大线性无关组

定义1 设a1,a2,,atRn，如果存在部分向量组ai1,ai2,,air，使得 （1) ai1,ai2,,air线性无关；

（2） a1,a2,,at中每一个向量都可以由ai1,ai2,,air线性表示； 则称ai1,ai2,,air为a1,a2,,at的极大线性无关组。

【备注5】 设a1,a2,,atRn，ai1,ai2,,air为其极大线性无关组。按照定义，

a1,a2,,at可由ai1,ai2,,air线性表示。但另一方面，ai1,ai2,,air也显然可以由 a1,a2,,at线性表示。因此，a1,a2,,at与ai1,ai2,,air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。

向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。

【备注6】按照定义，向量组a1,a2,,at线性无关，充分必要条件即其秩为t。 定义2设a1,a2,,atRn，如果其中有r个线性无关的向量ai1,ai2,,air，但没有更多的线性无关向量，则称ai1,ai2,,air为a1,a2,,at的极大线性无关组，而r为

a1,a2,,at的秩。

【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性\另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”.

【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果ai1,ai2,,air线性无关,且

a1,a2,,at中每一个向量都可以由ai1,ai2,,air线性表示，那么，a1,a2,,at就没有更多的线性无关向量，否则,假设有，设为b1,b2,,bs，sr。b1,b2,,bs当然

8

可以由ai1,ai2,,air线性表示，且还线性无关，按照性质(6），sr，这与假设矛盾!另一方面，假设ai1,ai2,,air为a1,a2,,at中r个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取a1,a2,,at中一个向量，记为b,则ai1,ai2,,air,b线性相关。按照性质（5)，b可有ai1,ai2,,air线性表示（且表示方法唯一）。

【备注9】设向量组a1,a2,,at的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a1,a2,,at的一个极大线性无关组.这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系

称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩.

定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩. 证明：

设A(aij)Rmn，r(A)r。将其按列分块为A(a1,a2,,an)。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为

1PA(Pa1,Pa2,,Pan)000100100b1,r+1b2,r1br,r100b1,nb2,nbr,n 0000100010,,,001线性无关,且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此， 000000 9

100010,,,001为PA的极大线性无关组，其个数为r，因此，a1,a2,,ar线性无000000关,且A中其余列向量均可由其线性表示（且表示的系数不变).因此，A的列秩等于A的秩。

b1T将A按行分块，A，则AT(b1,b2,,bm)，因此,按照前面的结论，ATbm的行秩为AT的秩,而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7。扩充定理

定理2 设a1,a2,,atRn,秩为r，ai1,ai2,,aik为其中的k个线性无关的向量，

kr，则能在其中加入a1,a2,,at中的(rk)个向量，使新向量组为a1,a2,,at的

极大线性无关组。 证明：

如果kr，则ai1,ai2,,aik已经是a1,a2,,at的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果kr,则ai1,ai2,,aik不是a1,a2,,at的一个极大线性无关组,于是， ，向量组 a1,a2,,at必有元素不能由其线性表示,设为aik1,由性质(5）

ai1,ai2,,aik,aik1线性无关。

如果k1r，则ai1,ai2,,aik,aik1已经是a1,a2,,at的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果k1r，则ai1,ai2,,aik,aik1不是a1,a2,,at的一个极大线性无关组,于是，a1,a2,,at必有元素不能由其线性表示，设为aik2，由性质(5），向量组

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ai1,ai2,,aik,aik1,aik2线性无关。

同样的过程一直进行下去,直到得到r个线性无关的向量为止。

【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。

8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示

求向量组a1,a2,atRn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现. （1） 将a1,a2,at合在一起写成一个矩阵A(a1,a2,at)；

（2) 将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为

b11b120b22A000000b1rb2rbrr00b1,r1b2,r1br,r100b1,nb2,nbr,nB，bii0,i1,2,,r，rr(A) 00(3) 在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j1,j2,,jr列，则j1,j2,,jr为

B列向量组的极大线性线性无关组，也是A列向量组的极大线性线性无关组,也

就是a1,a2,at的极大线性无关组。

为了在上半部分寻找r个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵。r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。

显而易见,上面矩阵第1到第r列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。

(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。

我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了.不妨设行最简形为

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10A000010000b1,r10b2,r11br,r10000b1,nb2,nbr,nB 00在B中第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量。于是，在A中，第1到第r列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B中的一致。

我们的理论依据是性质(8）。

21111121例4.设矩阵A4622369724,求A的列向量组的一个极大线性无关组，49并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示. 【解答】 记A(a1,a2,a3,a4,a5)，

21111121A4622369711r1r2310r3r230 r4r2r2(3)0001211214r1r221114622493697010441121r22r12r34r103316r443r101010612903343

223311r()1123803r43r3080080300394110300130000因此，A的列向量的一个极大线性无关组为a1,a2,a4，a3a1a2，

a44a13a23a3。

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