2020届高三数学精准培优专练18：椭圆(二)

x2y2

1．已知椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 453636272718189

y211

2．已知椭圆：9＋x2＝1，过点P(2，2)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )

A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0 x2y2

3．椭圆16＋4＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是( )

A．3 B.11 C．22 D.10

x2y2

4．已知椭圆E：5＋4＝1的一个顶点C(0，－2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为( )

A．6x－5y－14＝0 B．6x－5y＋14＝0 C．6x＋5y＋14＝0 D．6x＋5y－14＝0 x2y2

5．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为( )

531033 B. C. D. 53510

A.

x2y23

6．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C

ab2→→

相交于A，B两点．若向量AF＝3FB，则k＝( )

A．1 B.2 C.3 D．2

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7．已知直线l：y＝k(x＋22)与椭圆x2＋9y2＝9交于A，B两点，若|AB|＝2，则k＝_____． x22

8．直线m与椭圆2＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

x2y2

9．设F1，F2为椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为________．

x2y2

10．椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)

ab与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． y2

15．设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于

b

2

A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．

x2y2

16．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．

(1)若△AF1F2的周长为43＋6，求椭圆的标准方程；

2

(2)若|k|>4，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．

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x2y2

1．已知椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 453636272718189

0＋11b2b21答案 D解析 kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－2，得2＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2

aa23－12x2y2

＝18，b＝9，椭圆E的方程为＋＝1.

189

2

y211

2．已知椭圆：9＋x2＝1，过点P(2，2)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )

A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0

y2

答案 B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减

9y222

＋x2＝1，9y12－y22（y1－y2）（y1＋y2）11得＋x12－x22＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P(，)

9922y1－y2y1－y2

平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直

9x1－x211

线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.

22



y12

＋x12＝1，9

x2y2

3．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是( )

164

A．3 B.11 C．22 D.10

x2y2

答案 D解析 设椭圆16＋4＝1上的点P(4cosθ，2sinθ)，则点P到直线x＋2y－2＝0的距离π

|42sin（θ＋）－2|

4|4cosθ＋4sinθ－2||－42－2|

为d＝＝，∴dmax＝＝10.

555

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x2y2

4．已知椭圆E：5＋4＝1的一个顶点C(0，－2)，直线l与椭圆E交于A，B两点，若E的左焦点F1为△ABC的重心，则直线l的方程为( )

A．6x－5y－14＝0 B．6x－5y＋14＝0 C．6x＋5y＋14＝0 D．6x＋5y－14＝0 答案 B解析 由题意知F1(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x1＋x2＋0＝－3，x1＋x2＝－3，3则∴①设M为AB的中点，则M(－2，1)． y1＋y2－2＝0，y1＋y2＝2.

x12y12

5＋4＝1，（x1－x2）（x1＋x2）（y1－y2）（y1＋y2）由作差得＋＝0， 54x22y22

5＋4＝1，



y1－y26663

将①代入上式得＝5.即k＝5，由点斜式得，直线方程为y－1＝5(x＋2)，

x1－x2即6x－5y＋14＝0.

x2y2

5．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为( )

531033A.5 B.3 C.5 D.10

答案 A解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，将x＝－c代入椭圆方程得b2b2b2→→

y＝±.设A(－c，)，C(x，y)，由S△ABC＝3S△BCF2，可得AF2＝2F2C，即有(2c，－)＝

aaab2b24c2b2

2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－＝2y，可得x＝2c，y＝－，代入椭圆方程可得2＋2a2aa4ac115＝1.由e＝a，b2＝a2－c2，得4e2＋4－4e2＝1，解得e＝5，故选A.

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x2y23

6．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C→→

相交于A，B两点．若向量AF＝3FB，则k＝( )

A．1 B.2 C.3 D．2

3→→

答案 B解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为AF＝3FB，故y1＝－3y2.因为e＝2，设a＝2t，c＝3t，b＝t，故x2＋4y2－4t2＝0，直线AB的方程为x＝sy＋3t.代入消去x，所以(s2＋23stt223st

4)y＋23sty－t＝0，所以y1＋y2＝－2，y1y2＝－2，－2y2＝－2，－3y22＝－

s＋4s＋4s＋4

2

2

t211

，解得s2＝2，又k＝s，则k＝2.故选B. 2s＋4

7．已知直线l：y＝k(x＋22)与椭圆x2＋9y2＝9交于A，B两点，若|AB|＝2，则k＝_____． x22

解析 椭圆x＋9y＝9即椭圆9＋y＝1，所以椭圆的焦点坐标为(±22，0)．因为直线y＝

2

2

k(x＋22)，所以直线过椭圆的左焦点F(－22，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝k(x＋22)代入椭圆x2＋9y2＝9，可得(1＋9k2)x2＋362k2x＋72k2－9＝0，所以x1＋x2＝－72k2－96（1＋k2）362k222

，x1x2＝，所以|AB|＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2＝，因为|AB|1＋9k21＋9k21＋9k26（1＋k2）3＝2，所以＝2，所以k＝±3. 21＋9k

x22

8．直线m与椭圆2＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．

y中11x中11

答案 －2解析 由点差法可求出k1＝－2·，∴k1·＝－2，即k1k2＝－2. y中x中

x2y2

9．设F1，F2为椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C的方程为________．

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b2312b2

解析 由△F2AB是面积为43的等边三角形知AB垂直x轴，得a＝3×2c，2×2c×a＝x2y2

43，a＝b＋c，解得a＝9，b＝6，c＝3.所以的椭圆方程为9＋6＝1.

2

2

2

2

2

2

x2y2

10．椭圆Γ：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析 由直线y＝3(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝3c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(3＋1)c＝2a. 即e＝2

＝3－1. 3＋1

x2y2

11．已知椭圆9＋m＝1(0x2y2

解析 已知在椭圆9＋m＝1(0≥2，|AB|min＝＝＝2，解得m＝3.

33

x22

12．过椭圆2＋y＝1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G的横坐标的取值范围为________．

x22

解析 设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2

2－2＝0，Δ＝(4k2)2－4(1＋2k2)×(2k2－2)＝k2＋1>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为4k22k

N(x0，y0)，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，∴AB的垂直平分线NG的方程为y－y0

2k＋12k＋112k2k2k211

＝－k(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2＋2＝－2＝－2＋2.∵k≠

2k＋12k＋12k＋14k＋211

0，∴－22

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x2y2

13．已知直线y＝－x＋1与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标13

原点)，若椭圆的离心率e∈[2，2]，则a的最大值为________．

y＝－x＋1，22

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xy得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，

a2＋b2＝1，



Δ＝4a－4(a＋b)(a－ab)>0，可得a＋b>1且

a－ab

xx＝a＋b，

4

2

2

2

22

2

2

2

222

12

2

2a2x1＋x2＝2，a＋b2→→

∵OA⊥OB，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，

2（a2－a2b2）2a22222222222∴－2222＋1＝0，整理得a＋b＝2ab，a＋a－c＝2a(a－c)， a＋ba＋b2－e212a－ae＝2a(a－ae)，2a＝， 2＝1＋1－e1－e22

22

2

2

22

2

137

∵e∈[2，2]，∴2a2∈[3，5]，即amax＝510＝22.

x2y2

14．已知椭圆C：2＋4＝1，过椭圆C上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，求直线AB的斜率．

答案 2解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－2＝k(x－1)，代入椭圆方程化简得(k2＋2)x2－2k(k－2)x＋k2－22k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此k2－22k－2－2k2－4k＋22k2＋22k－2x1＝，y1＝，由－k代替x1，y1中的k，得x2＝，

k2＋2k2＋2k2＋2－2k2＋4k＋22y2－y1

y2＝，所以＝2. k2＋2x2－x1

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y2

15．设F1，F2分别是椭圆E：x＋b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于

2

A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求实数b的值． 42

答案 (1) (2)

32

4

解析 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

3(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.

y＝x＋c，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组2y2

x＋＝1.2b－2c1－2b2

化简，得(1＋b)x＋2cx＋1－2b＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.

1＋b21＋b22

2

2

4

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|.即3＝2|x2－x1|.

4（1－b2）4（1－2b2）88b422

则＝(x1＋x2)－4x1x2＝－＝，解得b＝. 92（1＋b2）21＋b2（1＋b2）2

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x2y2

16．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．

(1)若△AF1F2的周长为43＋6，求椭圆的标准方程；

2

(2)若|k|>4，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．

c＝3，

解析 (1)由题意得解得a＝23.

2a＋2c＝6＋43，

x2y2

结合a＝b＋c，解得a＝12，b＝3.所以椭圆的标准方程为12＋3＝1.

2

2

2

2

2

xya2＋b2＝1，(2)由消去y，得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.

y＝kx，

－a2b2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝222，易知，AF2⊥BF2.

b＋ak→→

因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，

→→

所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0， －a2（a2－9）（1＋k2）即＋9＝0，

a2k2＋（a2－9）

a4－18a2＋8181

将其整理为k＝＝－1－.

－a4＋18a2a4－18a2

2

22

223

因为|k|>4，所以122019届高三数学精准培优专练十八：椭圆（二）

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2

17．已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，离心率为2. (1)求椭圆E的方程；

(2)设直线l：y＝x＋m(m≠0)与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

c＝1，a＝2，c2x

解析 (1)根据题意得＝，解得b＝1，所以椭圆E的方程为2＋y＝1.

a2a＝b＋c，c＝1.

2

2

2

2

2

x2＋y2＝1，

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

y＝x＋m，

∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝(4m)2－12(2m2－2)>0，即－3由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝3. x1＋x22mm

设AB的中点为C，xC＝2＝－3，yC＝xC＋m＝3.

m2mm

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝－(x＋3)．∴点T的坐标为(－3，0)． 2|3m|24

T到直线AB的距离d＝＝|m|，由弦长公式得|AB|＝2（x1＋x2）2－4x1x2＝

3323－m2.

124222

∴S△TAB＝2×3|m|×33－m2＝9（3－m2）m2≤3，

362

当m2＝2，即m＝±2∈(－3，3)时等号成立．∴S△TABmax＝3

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2

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