医用物理学第 章 课后习题解答

第十一章 几何光学

通过复习后，应该:

1.掌握单球面折射成像、共轴球面系统、薄透镜成像、薄透镜的组合、放大镜和显微镜;

2.理解共轴球面系统的三对基点、眼的分辨本领和视力、近视眼、远视眼、散光眼的矫正;

3.了解透镜像差、眼的结构和性质、色盲、检眼镜、光导纤维内窥镜。

11-1 一球形透明体置于空气中，能将无穷远处的近轴光线束会聚于第二个折射面的顶点上，求此透明体的折射率。

习题11-1附图（原11-2附图）

解: 无穷远处的光线入射球形透明体，相当于物距u为∞，经第一折 射面折射，会聚于第二折射面的顶点，则v=2r（r为球的半径），已知n1 =1.0，设n2 =n（即透明体的折射率），代入单球面折射成像公式，得

1.0nn-1.0



2rr

解得n=2.0，即球形透明体的折射率。

11-2 在3m深的水池底部有一小石块，人在上方垂直向下观察，此石块被观察者看到的深度是多少?（水的折射率n=1.33）

习题11-2附图（原11-3附图）

解: 这时水池面为一平面的折射面，相当于r为∞，已知u=3m，n1 =1.33，n2 =1.0，观察者看到的是石块所成的像，设其像距为v，应用单球面折射成像公式，得

1.331.01.0-1.33



3mv

解得v=-2.25m，这表明石块在水平面下2.25m处成一虚像，即观察者看到的“深度”。

11-3 圆柱形玻璃棒（n=1.5）放于空气中，其一端是半径为2.0cm的凸球面，在棒的轴线上离棒端8.0cm处放一点物，求其成像位置。如将此棒放在某液体中（n=1.6），点物离棒端仍为8.0cm，问像又在何处?是实像还是虚像?

习题11-3附图 （a）【原11-5附图（a）】

解: ①如本题附图（a）所示，已知n1 =1.0，n2 =1.5，u=8.0cm，r=2.0cm，代入单球面折射成像公式，得

1.01.51.5-1.0



8.0cmv2.0cm

得v=12cm，在玻璃棒中离顶点12cm处成一实像。

②如本题附图（b）所示，已知n 1 =1.6，n 2 =1.5，u=8.0cm，r=2.0cm，代入单球面折射成像公式，得

1.61.51.5-1.6



8.0cmv2.0cm

解得v=-6.0cm，在液体中与物体同侧成一虚像。

习题11-3附图 （b）【原11-5附图（b）】

11-4 一个半径为10cm的透明球，折射率为1.6，其前表面与折射率为1.2且透明的液体接触，后表面与折射率为1.3的透明液体接触。若一点物放在折射率为1.2的液体中离球心20cm处，求最后成像位置。

习题11-4附图（原11-6附图，折射率数值要改）

解: 对第一个折射面，n1 =1.2，n2 =1.6，u1 =20-10=10cm，r=10cm，代入单球面折射成像公式，得

1.21.61.6-1.2

 10cmv110cm

解得v 1 =-80cm，说明第一折射面成一虚像，且在第一折射面前80cm处，记为I1 。同时I1 又

是第二折射面的物，在第二折射面前，因此对第二个折射面来说是实物，物距u 2 =d-v 1 =20-（-80）=100cm，n 2 =1.6，n 3 =1.3，r=-10cm，代入单球面折射成像公式，得

1.61.31.3-1.6



100cmv210cm

解得v 2 ≈92.8cm，即最后成像在第二折射面顶点后的92.8cm处。

11-5 一玻璃球（n=1.5），半径为10cm，置于空气中（n=1.0），有一点光源在球前40cm处，求近轴光线经过玻璃球后所成像的位置。

习题11-5附图（原11-8附图）

解: 对第一折射面，u 1 =40cm，n 1 =1.0，n 2 =1.5，r=10cm，则由单球面折射成像公式得

1.01.51.5-1.0

 40cmv110cm

解得v 1 =50cm，说明像在第一折射面后60cm处，玻璃球的直径为20cm，且u2 =d-v1

=20-60=-40cm，所以也在第二折射面的后面，是第二折射面的虚物。对第二折射面， n1 =1.5，n2 =1.0，r=-10cm，则由单球面折射成像公式，得

1.51.01.0-1.5



40cmv210cm

解得v 2 =11.4cm，最后成像在玻璃球后11.4cm处。

11-6 焦距为100mm的薄双凸透镜（n=1.50，两凸面的曲率半径相同），令其一面与水（n=1.33）相接，另一面与空气（n=1.0）相接，求此系统的焦距。

解: 本题先根据透镜在空气中的焦距计算两凸面的曲率半径，然后按单球面折射成像公式分别求水侧和空气侧的焦距，分三步进行计算。

①求凸面的曲率半径。

已知透镜在空气中的焦距f=100mm=10cm，n0 =1.0，n=1.5，设薄透镜的一凸面曲率半径

nn0为r，则另一凸面的曲率半径为-r，根据焦距公式f

n0

1.51.011

10cm 

rr1.0

1

11

可得 rr

1

解之，得r=10cm，即为透镜表面的曲率半径。

当此凸透镜一面与空气接触，另一面与水接触时，显然两侧的焦距必定不同。设靠空气一侧的焦距为f 1 ，靠水一侧的焦距为f 2 ，则当平行光线从空气一侧入射时，最后的像距必为f2 ，反之，当平行光线从水一侧入射时，最后的像距必为f 1 。

②求水一侧的焦距f 2 :设平行光线从空气一侧入射，这时有n1 =1.0，n2 =1.5，u1 =∞，r=10cm，代入单球面折射成像公式，得

1.01.51.5-1.0

 v110cm

解得v 1 =30cm。由于是薄透镜（d=0），所以v 1 即为第二折射面的虚物，且v 2 =-30cm，此时像距υ2 =f 2 ，n 1 =1.5，n 2 =

4

，代入单球面折射成像公式，得 3

44

1.5

1.5

33

30cmf210cm

解得f2 =20cm，即水一侧的焦距。

③求空气一侧的焦距f1 :设平行光线从水一侧入射，这时有n1 =

4

，n2 =1.5，r=10cm，3

u1 =∞，代入单球面折射成像公式，得

44

1.5-3 31.5

v110cm

解得υ1 =90cm，由于是薄透镜（d=0），所以υ1 为第二折射面的虚物，且u2 =-90cm，此时

像距υ2 =f 1 ，n1 =1.5，n2 =1，代入单球面折射成像公式

1.51.01.0-1.5



90cmf110cm

解得f1 =15cm，即空气一侧的焦距。

11-7 两个焦距均为+8cm的薄透镜，放在同一轴上，相距12cm，在一镜前12cm处放置一小物体，求成像的位置。

习题11-7附图（原11-9附图）

解: 对第一个透镜，u1 =12cm，f1 =8cm，则由薄透镜成像公式得

111

 12cmv18cm

解得v1 =24cm，由于两个透镜相距为12cm，所以对第二透镜该像为虚物，且u2 =d-υ1 =12-24=-12cm，f2 =8cm，则

111



12cmv28cm

解得υ2 =4.8cm，说明像在第二透镜后4.8cm处。

11-8 某一玻璃薄透镜（n=1.5）在空气中的焦距为10cm，求将此透镜放在水中（n=1.33）时的焦距。

解: 设薄透镜两折射面的曲率半径分别为r1 、r2 ，放在空气中时，n=1.5，f=10cm，根据薄透镜焦距公式f

nn011

，得 

n0r1r2

1.51.0011

10cm 1.0rr12

1

1

解得

111

。 r1r25

4

，根据焦距公式可得 3

1

当薄透镜放在水中时n=1.5，n 0 =1.33≈

41.5113frr cm 421

3

将

111

代入上式，可得f=40cm，即透镜放在水中的焦距。 r1r25

11-9 把焦距为15cm的凸透镜和焦距为-30cm的凹透镜紧密贴合，求贴合后的焦度。 解: 已知f1 =15cm=0.15m，f2 =-30cm=-0.3m，根据Φ=Φ1+Φ2 =

11

，有 

f1f2

Φ=

11

3.33D=333度

0.15m0.3m

-1

，其两折射面的曲率半径分别为6.0×10 m11-10在空气中有一玻璃薄双凸透镜（n=1.5）

-1

和1.5×10 m，现将一物体置于镜前12cm处，求像所在的位置和虚实。

习题11-10附图（原11-13附图）

-1

解: 对第一折射面，已知n1 =1.0，n2 =1.5，u1 =12cm，r1 =6.0×10 m=60cm，代入单球面折射成像公式，得

1.01.51.5-1.0

 12cmv160cm

解得v1 =-20cm，由于是薄透镜，所以-v 1 即为第二折射面的物距，该像在第二折射面的前

面，因此对于第二折射面，u2 =20cm，n1 =1.5，n2 =1.0，r2 =-0.15m=-15cm，代入单球面折射成像公式，得

1.51.01.0-1.5



20cmv215cm

解得v 2 =-24cm，成像在镜前24cm处，为一虚像。

如果用另一种方法，即先求薄透镜的焦距，然后按薄透镜成像公式计算，也可以得到同样的结果。

11-11 有两个薄透镜L1 和L2 ，已知f1 =10cm，f2 =40cm，两镜相距d=7cm，一点光源置于L1 前30cm处，问最后成像在何处?

习题11-11附图（原11-15附图）

解: 对第一透镜，u1 =30cm，f1 =10cm，设其像距为v1 ，代入薄透镜成像公式得

111，uvf

111

 30cmv110cm

解得v1 =15cm，由于，L2 与L1 相距7cm，所以对L2 来说，u2 =d-v1 =7-15=-8cm，f =40cm，2

代入薄透镜成像公式，得

111



8cmv240cm

解得v2 =6.67cm，即最后成像在L2 后6.67cm处。

11-12 折射率为1.3的平凸透镜，在空气中的焦距为50cm，该透镜凸面的曲率半径是多少?如果该透镜放在香柏油中（n=1.5），其焦距是多少?

解: ①透镜放在空气中，有n=1.3，n0 =1.0，f=50cm，r2 =∞，代入焦距公式，得

1.3111

50cm 

1r1

解之，得r1 =15cm，即凸面的曲率半径为15cm。

②若放在香柏油中，则n=1.3，n0 =1.5，r1 =15cm，r2 =∞，代入焦距公式得

1

1.31.511f= -112.5cm 

1.515cm

-112.5cm即该透镜放在香柏油中的焦距。可见，该透镜在空气中呈会聚透镜，而在香柏油中呈发散透镜。

11-13 有一双凸厚透镜置于空气中，已知其焦点到主点的距离为10cm，而物体离第一主点的距离为6cm，求其像的位置。透镜两主点之间距离的大小是否会影响该题的计算结果?对作图结果的影响呢?

解: 由于厚透镜置于空气中，所以其成像公式与薄透镜成像公式

1

111

相同，只是焦uvf

距为焦点到主点的距离，物距为物体到第一主点的距离，像距为像到第二主点的距离。依题意有，u=6cm，f=10cm，代入上述公式，得

111



6cmv10cm

解得v=-15cm，即像在第二主点前15cm处，为一虚像。在主点与焦点之间距离保持不变的情况下两主点之间距离的大小不影响计算结果;对于作图，其像的位置到第二主点的距离不变，但透镜两主点之间距离的大小会影响像在主光轴上的位置。

11-14 一近视眼患者，远点在眼前40cm处，他看远物时应戴多少度的眼镜?

解: 因为其远点在眼前40cm处，所以要看远处物体，实际上是通过透镜使远处物体在眼前40cm处成一虚像。分析可知，这时u=∞，v=-40cm=-0.4m，代入薄透镜成像公式得

111

，uvf

111 0.4mf

Φ=

即应配-250度的凹透镜。

11

=-2.50D=-250度 

f0.4m

11-15 一远视眼的近点在0.8m处，今欲使其能看清眼前15cm处的物体，应配多少度的眼镜? 解: 因为其近点在0.8m处，也就是说，如果不戴眼镜，无论怎样调节眼的焦度，放在0.8m以内的物体都是看不清的，要使其经过最大调节看清15cm处的物体，应通过透镜使15cm处的物体在0.8m处成一虚像。由上述分析可知，u=15cm=0.15m，v=-0.8m，代入薄透镜成像公式

111

，得 uvf

111



0.15m0.8mf

Φ=1/f=

111D≈5.42D=542度， f0.15m0.8m

即应配542度的凸透镜。

11-16 某人选配焦度为+200度的眼镜看眼前10cm的近物，而看远物时，又改用焦度为-50度的眼镜，该人的近点和远点各在何处。

解: ①该人看近物时需配凸透镜，类同于远视眼，要使近物在他的近点处成一虚像。设该虚像距离眼为υ，已知Φ=200度=2.0D，则f=1/2.0=0.5m=50cm，u=10cm，代入薄透镜成像公式得

111



10cmv50cm

解得v=12.5cm，即其近点在眼前12.5cm处。

②该人看远物的情况类同于近视眼，需配凹透镜让光线发散，使远物在其远点处成一虚像，设该虚像距离眼为υ，已知Φ=-50度=-0.5D，则f=薄透镜成像公式可得

1

=-2.00m=-200cm，u=∞，由0.50

111



v200cm

解得v=-200cm，即该人的远点在眼前200cm处。

11-17 如果进入一散光眼水平子午面的平行光线聚集在视网膜上，而通过垂直子午面的平行光线聚焦在视网膜之后，此人应配何种圆柱形透镜?镜轴方向如何? 答: 此人的眼睛为单纯远视散光，应配凸圆柱形透镜，镜轴水平放置。

11-18 一简单放大镜的焦距为8cm，所成的像在镜前25cm处，问:①物体放在镜前何处?②此镜的角放大率是多少?

解: ①已知f=8.0cm，v=-25cm，代入薄透镜成像公式，得

111



u25cm10cm

解得u≈6.06cm，即物体放在镜前6.06cm处。

②角放大率为

α=25 cm /f=25/8=3.12

11-19 显微镜的目镜焦距为2.5cm，物镜焦距为12mm，物镜与目镜相隔21.7cm，把两镜作为薄透镜处理，问:①标本应放在物镜前什么地方?②物镜的线放大率是多少?③显微镜的总放大率是多少?

解: ①因物镜成的像应落在目镜焦点以内靠近焦点处，而物镜与目镜相距21.7cm，目镜的焦距f2 =2.5cm，所以物镜的像距v1 =21.7-2.5=19.2cm，已知物镜的焦距f1 =12mm=1.2cm，设物镜的物距为u1 ，代入薄透镜成像公式，得

111 u119.2cm1.2cm

解得u1 ≈1.28cm，即标本应放在物镜前1.28cm处。

②物镜的线放大率

因m=y′/y，而y′/y=v 1 /u1 ，所以物镜的线放大率m为

m

v119.2cm15.0 u11.28cm

③总放大率

因M=m·α，而α=25 cm /f 2 ，所以总放大率M为

M=m·25 cm /f2 =15.0×25 cm /2.5 cm =150

11-20 一显微镜的目镜由两个相同的正薄透镜组成，焦距均为4cm，两透镜相距2cm，问此目镜（透镜组）的焦点在何处?如果两正薄透镜是密接组合，焦点又在何处?焦距呢? 解: ①相距2cm的情况。一束平行光入射通过透镜组所成像的位置即为透镜组的焦点处。对于第一个透镜来说，u1 =∞，f1 =4.0cm，由薄透镜成像公式，得

111 v14.0cm

解之v1 =4cm。对第二透镜来说，物距u2 =d-v1 =2.0-4.0=-2.0cm，f2 =6.0cm，则有

111



2.0cmv24.0cm

解得v2 =1.33cm，即透镜组的第二焦点位于第二透镜后2cm处。由成像系统的对称性可知，透镜组的第一焦点位于第一透镜前1.33cm处。

②密接的情况。已知f1 =f2 =4cm=0.04m，则该透镜组的焦度为

Φ=Φ1 +Φ2 =

111

D 

0.04m0.04m0.02m

由此得焦距f=2cm，即焦点位于密接透镜组的两侧，距离2cm处。

11-21 一显微镜的放大率为200，若物镜的放大率为24，那么其目镜的焦距是多少?

解: 已知M=200，m=24，又因M=m·α=m·25/f2 ，则由此可得目镜的焦距为

f2

25cmm25cm24

3cm M200

11-22 一台显微镜物镜焦距为4mm，目镜焦距为30mm，镜筒长16cm，若最后成像在眼前明视距离处，求:①物镜所成的像离物镜的距离;②标本离物镜的距离。

解: ①已知最后成像在明视距离处，说明目镜的像距v2 =-25cm，而f2 =30mm=3.0cm，代入透镜成像公式，得

111 u225cm3.0cm

解得u2 =2.7cm，即目镜的物距，目镜的物是物镜的像，它离物镜的距离为16-2.7=13.3cm。13.3cm即为物镜的像距v1 =13.3cm。

②标本离物镜的距离

由f1 =4mm=0.4cm，代入薄透镜成像公式，得

111 u113.3cm0.4cm

解得u1 =0.41cm，即标本离物镜的距离。

11-23 一台显微镜，已知其孔径数为1.10，光源的波长λ=550nm，肉眼可分辨的最小间隔约为0.1mm，物镜焦距为2.0mm，目镜焦距为7.0cm，求:①此物镜的最小分辨距离;②镜筒的长度。

-9

解: ①已知N·A=1.10，λ=550nm=550×10 m，则物镜的最小分辨距离为

0.610.61550109m -7

=3.05×10 m≈0.31μm Z

NA1.10

②因为肉眼可分辨的最小距离为0.1mm=10 m，而该显微镜的最小分辨距离Z=0.31μm=0.305

-6

×10m，则显微镜的总放大率为

-4

104

M328 6

0,3110m

已知物镜f1 =2.0mm=0.20cm，目镜f2 =7.0cm，由总放大率公式

M

25s

，可近似计算镜筒的长度 f1f2

s

Mf1f23280.20cm7.0cm

18.4cm

25cm25cm

11-24 若一油浸物镜恰能分辨每厘米有40000条的一组线条，照射光为白光（波长取550nm计算），求此物镜的数值孔径。

解: 由题意，该油物镜的最小分辨距离为

1

cm2.5107m

40000

0.61 -9

已知λ=550nm=550×10m，由公式Z得，该物镜的数值孔径为

NA

Z

0.610.61550109m

1.34 NA7

Z2.510m

-5

11-25 某显微镜的油浸数值孔径为1.5，若用波长为2.5×10 cm的紫外光源照射，可分辨的最短距离是多大?若改用波长为500nm的可见光光源时又将如何? 解: ①紫外光源

-5-7

已知N·A=1.5，λ=2.5×10 cm=2.5×10 m，可分辨的最短距离为

0.610.612.5107

m≈1.0×10-7 m=0.10μm Z

1.5NA

②用可见光

-9

若改用波长为500nm=500×10 m的可见光，则最小分辨距离为

0.610.615.0107

m≈2.0×10-7 m=0.20μm Z

1.5NA

11-26 人眼可分辨的最小距离为0.1mm，欲观察0.25μm的细节，照射光源的波长为550nm，问显微镜的有效放大率是多少?数值孔径是多少?

-6-4

解: 已知Z=0.25μm=0.25×10 m，而人眼可分辨的最小距离为0.1mm=10 m，则该显微镜的有效放大率为

0.1104mM400

0,25106m

又知λ=550nm=550×10 m，则数值孔径为

-9

0.610.61550109m

NA1.34 6

Z0,2510m

11-27 正视眼使用放大镜来观察物体时，通常是把物体放在它的焦点以内靠近焦点处，以使眼睛几乎不需调节便在视网膜上形成一清晰的像。对于近视眼，要将物体放在什么位置比较合适?为什么?

答: 无论是正视眼还是近视眼使用放大镜来观察物体时，都应把物体放在放大镜的焦点以内靠近焦点，这样物体才能在眼前成一放大正立的虚像，以达到增大视角的目的。近视眼由于其远点为有限远，所以近视眼在使用放大镜时物体应离焦点稍远一点，这样物体在眼前所成的虚像会近一些。

11-28 单球面折射的成像系统有没有焦点？有几个焦点？其焦距是多少?

答: 此成像系统有2个焦点。根据单球面折射成像公式和焦点的定义，可计算其焦距。 ①当平行于主光轴的近轴光线入射，经球面折射后的像距必为第二焦点的焦距，即f2，

则根据单球面折射成像公式

n1n2n2-n1nnn-n

，可得1221， 

f2uvrr

所以有f2

n2

r.

n2-n1

②当位于主光轴上的点光源发出的近轴光线，经球面折射后以平行光线出射时，则点光源所在点即为第一焦点其到球面顶点的距离即物距必为第一焦点的焦距，则根据单球面折射成像公式

n1n2n2-n1nnn-n

，可得1221， 

uvrf1r

n1

r.

n2-n1

所以有f1