广东省珠海二中2012届高三第二次六校协作联考理科

数学（理科）试题

阳春一中 肇庆一中 真光中学 桂城中学 深圳二中 珠海二中

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

21．设z1i（为虚数单位），则z

A．1i

2 （ ） zB．1i C．1i D． 1i

2．设U=R，集合A{y|y2x,xR},B{xZ|x240}，则下列结论正确的是（ ）

A．AB(0,) C．(CUA)B{2,1,0}

B．(CUA)B,0 D．(CUA)B{1,2}

3． 右图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数

模型拟合最好？ （ ） A．指数函数：y2t B．对数函数：ylog2t C．幂函数：yt3 D．二次函数：y2t2

4．已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fxgxaxax2a0,且a1，若g2012a，则f2012

201222012 C. 2201222012 D. a2 A. 2 B. 2

x15．已知实数x，y满足约束条件y2则z2xy的取值范围是

xy0’

A．[0，1]

B．[1，2]

C．[1，3]

D．[0，2]

2（ ）

6．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数yx图象下方的点构成的区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com A．

1111 B． C． D． 5 432

7．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是 （ ）

8．已知f(x)为定义在(,)上的可导函数，且f(x)f'(x)对于xR恒成立且e为自然对数

的底，则

（ ）

A．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0) B．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0) C．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0) D．f(1)ef(0),f(2012)e2012f(0)

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）

(一)必做题(9～13题)

9．等比数列an中，a32,a78, 则a5= 10．(x3)10的展开式中，

2的系数是___________

11．命题“xR，x3x0”的否定是 ．

12．已知|a|=|b|=|ab|=2，则|2ab|的值为

13．在实数的原有运算法则中，定义新运算ab3ab，则x4x1xx8的解

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 集为

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分) 14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线C1: 参数）， 曲线C2:x2t2a（t为

ytx2cos（为参数）.若曲线C1、C2有公共点，

y22sin则实数a的取值范围____________．

15．（几何证明选讲）如图，点A,B,C是圆O上的点,

且AB2,BC6,CAB120,则AOB对应的劣弧长为 ．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知函数

f(x)sin(x)sin(x)cosxa(aR,a为常数).

66(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若函数f(x)在[-

，]上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值. 22 17．（本题满分13分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表： 女生（人） 男生（人） 偏瘦 100 x 正常 173 177 肥胖 y z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15。 （1）求x的值；

（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？ （3）已知y193，z193，肥胖学生中男生不少于女生的概率。

18．（本题满分13分）如图， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB5，AA1＝4，点D是AB的中点

（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；

（Ⅱ）求二面角DCB1B的平面角的正切值．

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 19．（本题满分14分）已知函数f(x)axlnxb(a,bR)，在点(e,f(e))处的切线方程是

2xye0（e为自然对数的底）。

（1）求实数a,b的值及f(x)的解析式；

（2）若t是正数，设h(x)f(x)f(tx)，求h(x)的最小值；

（3）若关于x的不等式xlnx(6x)ln(6x)ln(k272k)对一切x(0,6)恒成立，求实数k的取值范围.

20. （本题满分14分）已知数列an中，a12,anan12n0n2,nN.

（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列an的通项公式； （2）设bn

21．（本题满分14分）如图，曲线C1是以原点O为中心、F1,F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角，若AF1（1）求曲线C1和C2的方程；

（2）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问

1111，求bn的最大值。 an1an2an3a2n

75，AF2， 22BEGF2CDHF2是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 参考答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B D C B A 二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．

9．4 10．1890 11．xR，x3x0 12．23 13．xx,x21815 814．25a25 （ 或 [25,25] ） 15．

2 2三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解：（1）∵f(x)2sinxcos6cosxa3sinxcosxa

„„„„„„„„4分

 2sinxa

6∴函数f(x)的最小正周期T2 „„„„„„„„„6分

(2)∵x2 ,，∴x36322∴当x63，即x2时，fminxf3a„„8分 2当x62，即x

3

时，fmaxxf2a „„10分 3由题意，有(3a)(2a)3 ∴a31

17．解：（1）由题意可知，

„„12分

x0.15，∴x＝150（人）； „„„„„4分 1000（2）由题意可知，肥胖学生人数为yz400（人）。设应在肥胖学生中抽取m人，则

m50，∴m20（人） 4001000答：应在肥胖学生中抽20名。 „„„„„„„„„„„„8分

（3）由题意可知， yz400，且y193，z193，满足条件的（y，z）有（193，207），

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com （194，206），„，（207，193），共有15组。 设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即yz，满足条件的（y，z）有（193，207），（194，206），„，（200，200），共有8组，所以 P(A)8。 15答：肥胖学生中女生少于男生的概率为

8。 „„„„„„„„„„13分 1518． （Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

AC2BC2AB2

∴ AC⊥BC， …………………2分 又 AC⊥C1C，且BCC1CC

∴ AC⊥平面BCC1 ，又BC1平面BCC1 ……………………………………4分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解法一：取BC中点E，过D作DFB1C于F，连接EF …………6分

D是AB中点，

∴DE//AC ，又AC平面BB1C1C

∴DE平面BB1C1C，

又EF平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C ∴DEEF

∴B1CDE 又DFB1C且DEDFD

∴B1C平面DEF，EF平面DEF ………8分 ∴B1CEF 又DFB1C

∴EFD是二面角DB1CB的平面角 ……………………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在DEF中，DEEF，DE3，EF2 23DE322∴tanEFD …………………………………………12分 EF42∴二面角DB1CB的正切值为

32 …………………………………………13分 4解法二：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 2，0)，B1(0，0，0)，B(0，4，0) C(0，0，0)，D(，∴A(3，4，4)， 32，0)， ∴CD(，2CB1(0，4，4)

32平面CBBC，0，0)， …………………8分 11的法向量n1(1设平面DB1C的法向量n2(x0，y0，z0)，

则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角DCB1B的大小 …………9分 3n2CD0x02y00则由 令x04，则y03，z03 2n2CB104y04z00∴ n2(4,3,3) ………………11分 n1n2432，则tann1， ……………12分 n2cosn1，n24|n1||n2|34∵二面角DB1CB是锐二面角 ∴二面角DB1CB的正切值为

19．解：（1）依题意有

32 ………………………… 13分 42ef(e)e0

f(e)ef'(x)alnxabf'(e)alneab22ab2b22a(e,f(e))在f(x)上；

f(e)aelnebaebeae22aea1b0f(x)xlnx故实数a1,b0,f(x)xlnx „„„„„4分

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com （2）

h(x)f(x)f(tx)，

xlnx(tx)ln(tx) h(x)的定义域为(0,t)；„„„„„5分

x „„„„„6分 txtt由h'(x)0得xt,h'(x)0得0x,„„„„„8分

22tth(x)在(,t)上是增函数h(x)在(0,)上是减函数

22tth(x)minh()tln„„„„„10分

22（3）xlnx(6x)ln(6x)f(x)f(6x)h(x) h'(x)lnx1[ln(tx)1]ln由(2)知h(x)minh()tlnt2t 26t6,h(x)minh()6ln3ln729„„„„11分

2xlnx(6x)ln(6x)ln(k272k)对一切x(0,6)恒成立

ln(k272k)ln729

k272k02,9k0,72k81„„„„13分 k72k729故实数k的取值范围[9,0)(72,81].„„„„14分 20. 解：（1）∵ a12,anan12n0n2,nN ∴ a26,a312 „„„„„2分

当n2时，anan12n,an1an22n1,,a3a223,a2a122， ∴ ana12nn132，

∴an2nn13212nn12nn1 „„„„„„„5分

当n1时，a11112也满足上式，„„„„6分 ∴数列an的通项公式为annn1„„„„7分 （2）bn111111 an1an2a2nn1n2n2n32n2n1第 8 页 共 10 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 111111

2n2n1n1n2n2n3 11n1 „„„„„„„10分 2n12n12n3n1(2n1)3n 令fx2x11x1，则fx22， 当x1时,fx0恒成立 xx∴ fx在x1,上是增函数，故当x1时，fxminf13„13分 即当n1时， (bn)max另解： bn1bn1 „„„„„14分 611111111 n22n3n12n1n22n12n3n13n33n40 222n5n22n5n31∴ 数列an是单调递减数列，∴(bn)maxb1

675x2y221．解：（Ⅰ）设椭圆方程为221，则2aAF1AF26，

22ab得a3 „„„„„2分

设

A(x,y),F1(c,0),F2(c,0)，则

7(xc)2y2()22，

5(xc)2y2()2，

235两式相减得xc，由抛物线定义可知AF2xc，

2233则c1,x或x1,c（舍去）

22x2y21，抛物线方程为y24x。 „„„„„6分 所以椭圆方程为98另解：过F1作垂直于x轴的直线xc，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线， 作AMx轴于M，则由抛物线的定义得AF2AH， 所以AMAF1F1M2222AF1AH

222AF1AF22756

22第 9 页 共 10 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 15F2M6，

22得F1F22512，所以c＝1， 22b2a2c28

x2y21，抛物线方程为y24x。 „„„„„6分 所以椭圆方程为98

„„„„8分

„„„„10分

„„„„12分

„„„„14分

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