2021高考全国3卷文科数学带答案

文科数学

考前须知：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试完毕后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符

合题目要求的。 1，2，那么A1．集合Ax|x1≥0，B0，B

1，2 D．0，A．0 2．1i2i A．3i

B．1 C．1，2

B．3i C．3i D．3i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出局部叫棒头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

14．假设sin，那么cos2

387A． B．

997C．

98D．

95．假设某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，那么不用现金支付的概率为 A． 6．函数fxA．

π 4B．

tanx的最小正周期为

1tan2xπB．

2C． D．

C．π D．2π

7．以下函数中，其图像与函数ylnx的图像关于直线x1对称的是 A．yln1x

B．yln2x

C．yln1x

D．yln2x

28．直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x2y22上，那么ABP面积的取值范围是 A．2，6

8 B．4，C． 322，D．22， 329．函数yx4x22的图像大致为

x2y210．双曲线C：221〔a0，b0〕的离心率为2，那么点4，0到C的渐近线的间隔 为

ab32A．2 B．2 C． D．22 2a2b2c211．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．假设ABC的面积为，那么C

4ππππA． B． C． D．

234612．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，那么三棱锥DABC体积的最大值为

A．123 B．183 C．243

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

D．543

13．向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．假设c∥2a+b，那么________．

14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其效劳的评价有较大差异．为理解客户的评价，该公司准

备进展抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，那么最适宜的抽样方法是________．

2xy3≥0，115．假设变量x，y满足约束条件x2y4≥0，那么zxy的最大值是________．

3x2≤0.16．函数fxln1x2x1，fa4，那么fa________．

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 17．〔12分〕

等比数列an中，a11，a54a3． 〔1〕求an的通项公式；

〔2〕记Sn为an的前n项和．假设Sm63，求m．

18．〔12分〕

某工厂为进步消费效率，开展技术创新活动，提出了完成某项消费任务的两种新的消费方式．为比拟两种消费方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种消费方式，第二组工人用第二种消费方式．根据工人完成消费任务的工作时间〔单位：min〕绘制了如下茎叶图：

〔1〕根据茎叶图判断哪种消费方式的效率更高？并说明理由；

〔2〕求40名工人完成消费任务所需时间的中位数m，并将完成消费任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种消费方式 第二种消费方式 超过m 不超过m 〔3〕根据〔2〕中的列表，能否有99%的把握认为两种消费方式的效率有差异？

2PK≥k0.0500.0100.001附：K2，．

k3.8416.63510.828abcdacbdnadbc219．〔12分〕

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

〔1〕证明：平面AMD⊥平面BMC；

〔2〕在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 20．〔12分〕

x2y2斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点．线段AB的中点为M1，mm0．

431〔1〕证明：k；

2〔2〕设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：2FPFAFB ． 21．〔12分〕

ax2x1函数fx．

ex〔1〕求由线yfx在点0，1处的切线方程； 〔2〕证明：当a≥1时，fxe≥0．

〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计

分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕

xcos，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为〔为参数〕，过点0，2且倾斜角为

ysin的直线l与⊙O交于A，B两点．

〔1〕求的取值范围；

〔2〕求AB中点P的轨迹的参数方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕

设函数fx2x1x1． 〔1〕画出yfx的图像；

〔2〕当x∈0，， fx≤axb，求ab的最小值． 绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题

1．C 7．B 二、填空题

13．

2．D 8．A

3．A 9．D

4．B 10．D

5．B 11．C

6．C 12．B

1 214．分层抽样 15．3 16．2

三、解答题 17．解：

〔1〕设{an}的公比为q，由题设得anqn1．

由得q44q2，解得q0〔舍去〕，q2或q2． 故an(2)n1或an2n1． 〔2〕假设an(2)n11(2)n，那么Sn．由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解．

3假设an2n1，那么Sn2n1．由Sm63得2m64，解得m6． 综上，m6． 18．解：

〔1〕第二种消费方式的效率更高．理由如下：

〔i〕由茎叶图可知：用第一种消费方式的工人中，有75%的工人完成消费任务所需时间至少80分钟，用第二种消费方式的工人中，有75%的工人完成消费任务所需时间至多79分钟．因此第二种消费方式的效率更高．

〔ii〕由茎叶图可知：用第一种消费方式的工人完成消费任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种消费方式的工人完成消费任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种消费方式的效率更高．

〔iii〕由茎叶图可知：用第一种消费方式的工人完成消费任务平均所需时间高于80分钟；用第二种消费方式的工人完成消费任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种消费方式的效率更高．

〔iv〕由茎叶图可知：用第一种消费方式的工人完成消费任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种消费方式的工人完成消费任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种消费方式的工人完成消费任务所需时间分布的区间一样，故可以认为用第二种消费方式完成消费任务所需的时间比用第一种消费方式完成消费任务所需的时间更少，因此第二种消费方式的效率更高．

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 〔2〕由茎叶图知m列联表如下：

第一种消费方式 第二种消费方式 2798180． 2超过m 15 5 不超过m 5 15 40(151555)2〔3〕由于K106.635，所以有99%的把握认为两种消费方式的效率有差

20202020异． 19．解：

〔1〕由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

D的点，因为M为CD上异于C，且DC为直径，所以DM⊥CM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． 〔2〕当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．

证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD． 20．解：

22x12y12x2y2〔1〕设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么1，1．

4343yy2xxyy2两式相减，并由1=k得121k0．

x1x243由题设知

x1x2yy23． 1，1m，于是k224m31，故k． 22由题设得0m〔2〕由题意得F〔1，0〕．设P(x3，y3)，那么(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)． 由〔1〕及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0． 又点P在C上，所以m333，从而P(1，)，|FP|=． 4222x12x于是|FA|(x11)y(x11)3(1)21．

42221同理|FB|=2x2． 21所以FAFB4(x1x2)3．

2故2|FP|=|FA|+|FB|． 21．解：

ax2(2a1)x2〔1〕f(x)，f(0)2． xe因此曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程是2xy10． 〔2〕当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex． 令g(x)x2x1ex1，那么g(x)2x1ex1．

当x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当x1时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以g(x)g(1)=0．因此f(x)e0． 22．解：

〔1〕O的直角坐标方程为x2y21． 当时，l与O交于两点． 22|1，时，记tank，那么l的方程为ykx2．l与O交于两点当且仅当|221k当解得k1或k1，即(,)或(,)．

4224综上，的取值范围是(,)．

44xtcos,(t为参数，)． 〔2〕l的参数方程为44y2tsin设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，那么tPtAtB ，且tA，tB满足t222tsin10．

2xtPcos,(x,y) 于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标满足y2tsin.P2sin2,x2(为参数，)． 所以点P的轨迹的参数方程是44y22cos22223．解：

13x,x,21〔1〕f(x)x2,x1,yf(x)的图像如下图．

23x,x1.

〔2〕由〔1〕知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5．