高中数学集合与常用逻辑用语

第一节 集合的概念与运算

一、高考考点梳理 （一）、集合的基本概念

1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和 ∉. 3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；

自然数集记作N；正整数集记作N*或N . （二）、集合间的基本关系 表示 文字语言 关系 集合间的基本真子集 关系 空集 中至少有一个元素不是A中的元素 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 符号语言 相等 子集 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且BA＝B A⊆B AB （三）、集合的运算 符号表示 图形表示 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 并集 A∪B 交集 A∩B 补集 ∁UA （四）、集合关系与运算的重要结论

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个.

2.传递性：A ⊆B，B ⊆C，则A ⊆C . 3.A∪B＝A⇔B⊆A ； A∩B＝A⇔A⊆B .

4.∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) . 二、历年高考真题题型分类突破

题型一 集合的基本概念

【例1】（2013全国Ⅰ卷）已知集合A＝{1,2,3,4}，B{x|xn2,nA}， 则AB( )．

A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2} 解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A ∩B＝{1,4}，故选A .

题型二 集合间的关系

【例2】（2017全国Ⅰ卷）已知集合A=x|x2，B=x|32x0，则（ ）．

A．AC．A

B=x|xBx|x3 23 2

 32B．AD．A

B B=R

32解析：由B=x|32x0，得Bx|x ，因为A=x|x2，所以AB=x|x，故选A .

题型三 集合的运算

【例3】（2019全国Ⅰ卷）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝（ ）．

A．{1，6}

B．{1，7}

C．{6，7}

D．{1，6，7}

解析：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}， ∴∁UA＝{1，6，7}，则B∩∁UA＝{6，7}，故选C ．

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、高考考点梳理 （一）、命题的定义

可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 （二）、四种命题及其相互关系 1.四种命题间的关系

2.四种命题的真假关系

（1）.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. （2）.两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关. （三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义

1.若pq ；则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2.若pq且qp,则p是q的充要条件。

3.若有pq ，无qp ,则称p是q的充分不必要条件。 4.若有qp , 无pq ,则称p是q的必要不充分条件。 5.若无pq且无qp,则p是q的非充分非必要条件。 （四）、充分、必要、充要条件的判断方法

1.定义法

根据pq ，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题。 2.转化法

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转化为其逆否命题再进行判断，适用于条件和结论带有否定词语的命题。

3.集合法

根据p、q成立对象的集合间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母范围的推断问题。

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 四种命题的关系及其真假判断

【例1】原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A.真 假 真 B.假 假 真 C.真 真 假 D.假 假 假

解析：由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题。当 z1=4+3i，z2=3+4i时，|z1|=|z2|成立，但z1、z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题，故选B.

题型二 充分条件与必要条件的判断

【例2】（2019全国Ⅱ卷）设,为两个平面，则//的充要条件是( )

A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ,平行于同一条直线 D. ,垂直于同一平面

解析：当内有两条相交直线平行于时，//；当//时，内存在两条相交直线平行于，故选B.

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、高考考点梳理

1.简单的逻辑联结词

（1）.常用简单的逻辑联结词有“且（∧）”、“或（∨）”“非（┑）”。 （2）.复合命题真假的判断

p 真 真 假 假 2.全称量词与全称命题 q 真 假 真 假 pq 真 假 假 假 pq 真 真 真 假 p 假 假 真 真 （1）.“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围

内，表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词。

（2）.含有全称量词的命题，叫做全称命题。 （3）.全称命题的符号表示

设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，形如“对M中的所有x，有

p(x)成立”的命题，用符号简记为：∀x∈M，p(x)。 3. 存在量词与存在性命题

（1）.“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”、都有表示个别或一部

分的含义，这样的词叫做存在量词。

（2）.含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 （3）.存在性命题的符号表示

形如“存在集合M中的元素x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为：

xM,p(x)。

4. 全称命题与存在性命题的否定

（1）.全称命题p：xM,p(x)； 则命题的否定为p：xM,p(x)。 （2）.存在性命题p：xM,p(x)； 则命题的否定为p：xM,p(x)。

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 逻辑推理

【例1】（2017全国Ⅱ卷）)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩:根据以上信息,则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

解析：由甲的说法可知乙、丙1人优秀1人良好,则甲、丁两人1人优秀1人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.

题型二 全称命题、存在性命题

xy6,【例2】（2019全国Ⅲ卷）记不等式组表示的平面区域为D．命题

2xy0p:(x,y)D,2xy9；命题q:(x,y)D,2xy12．下面给出了四个命题

①pq

②pq

③pq

④pq

这四个命题中，所有真命题的编号是( )． A．①③

B．①②

C．②③

D．③④

xy6,解析：由不等式组可求出区域D，可得直线2x+y=9与2x+y=12均经

2xy0 过区域D,则P真q假，从而P假q真，所以①③真，②④假，故选A.

【例3】（2013全国I卷）已知命题P:xR,2x3x；命题q:xR,x31x2，则下列命题中为真命题的是( )．

A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q 解析：由20＝30知，P为假命题．则P是真命题。令h(x)＝x3－1＋x2， ∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在区间(0,1)内有解．

∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题，则q是假命题。综上，只有p∧q 是真命题，故选B.