2022年考研数学一真题

一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知f(x)满足lim

f(x)

x1

lnx

1，则（）（A）f(1)0.（B）limx1

f(x)0.（C）f(1)1.（D）limx1f(x)1.（2）已知zxyf(y)，且f(u)可导，x

zxxyz

yy2(lnylnx)，则（）（A）f(1)

1

2,f(1)0.（B）f(1)0,f(1)

1

2.（C）f(1)1

2,f(1)1.（D）f(1)0,f(1)1.（3）设有数列xn，其中xn满足

π2󰀭xπ

n󰀭2，则（）（A）若nlim

cos(sinxn)存在，则limn

xn存在.（B）若limn

sin(cosxn)存在，则limnxn存在.（C）若limncos(sinxn)存在，则limsinxn存在，但nlimnxn不一定存在.（D）若limnsin(cosxn)存在，则limncosxn存在，但limnxn不一定存在.（4）已知I1x1ln(1x)12x102(1cosx)dx，I201cosxdx，I301sinxdx，则（（A）I1I2I3.（B）I2I1I3.（C）I1I3I2.（D）I3I2I1.（5）下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但不必要条件为（（A）A有3个不相等的特征值.（B）A有3个线性无关的特征向量.（C）A有3个两两线性无关的特征向量.（D）A的属于不同特征值的特征向量相互正交.(6)设A,B均为n阶矩阵，若方程组Ax0与Bx0同解，则()（A）方程组

AO

EB

y0只有零解.（B）方程组

E

A

O

ABy0只有零解.

1））ABB

（C）方程组y0与

OBO

（D）方程组

A

y0同解.A

ABOBBAA

与y0y0同解.AOB

111



(7)设向量组11,2,31,4,若向量组1,2,3与1,2,4等价,则112可取()（B）{|R,（A）{0,1}.（C）{|R,2}.1}.1,2}.（D）{|R,(8)设随机变量XU(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y协方差为1，则D(2XY1)（）（A）1.（B）5.（C）9.（D）12.k（9）设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布,且X1的4阶矩存在.设kE(X1),k1,2,3,4,则由切1n2比雪夫不等式,对于任意的0,有PXi2󰀮󰀭(ni1

)422（A）.2n422

（B）.2n212（C）.2n212

（D）.2n）(10)设随机变量XN(0,1)，在Xx条件下随机变量YN(x,1)，则X与Y的相关系数为（（A）1.4（B）1.22（C）3.3（D）2.2二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．(11)函数f(x,y)x2y在点(0,1)的最大方向导数为_______.(12)2

e21lnxdx_______.x22xy(13)当x󰀮0,y󰀮0时,xy󰀭ke(14)已知级数

恒成立,则k的取值范围是_______.n!nx

e的收敛域为(a,),则a_______.nnn1

1(15)已知矩阵A和EA可逆,其中E为单位矩阵,若矩阵B满足(E(EA))BA,则2BA_____.(16)设A,B,C随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立.若1

P(A)P(B)P(C),则PBCABC________.3三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本题满分10分)设函数y(x)是微分方程y12xy2x的满足y13的解，求曲线yyx的渐近线.(18)(本题满分12分)(xy)2dxdy.已知平面区域D(x,y)y2󰀭x󰀭4y,0󰀭y󰀭2，计算I22xyD2(19)(本题满分12分)L是曲面：4x2y2z21，x󰀮0,y󰀮0,z󰀮0的边界，曲面方向朝上，已知曲线L的方向和曲面的方向符合右手法则，求I

yz

L

2

coszdx2xz2dy2xyzxsinzdz

(20)(本题满分12分)有二阶连续导数，证明：f(x)󰀮0的充要条件为对不同实数设f(x)在，

a,bf(

ab1b

)󰀭fxdx.a2ba(21)(本题满分12分)已知二次型f(x1,x2,x3)

ijxx

i1j1

i

33

j

.（1）写出f(x1,x2,x3)对应的矩阵；（2）求正交变换x=Qy,将f(x1,x2,x3)化为标准形；（3）求f(x1,x2,x3)0的解.(22)(本题满分12分)设X1,X2,,Xn来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，设Y1,Y2,,Ym来自均值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中0为未知数，利用样本X1,X2,,Xn,Y1,Y2,,Ym，求的最大似然估计量，并求D().3

